2021高中数学北师大版必修二导学案：《垂直关系的判定》.docx

第10课时　垂直关系的判定

1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简洁问题.
3.了解二面角及其平面角的概念.

天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?假如一条直线与平面内的很多条直线都垂直,那么这条直线与这个平面肯定垂直吗?

问题1:假如直线l与平面α内的　　一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α相互垂直,记作　l⊥α　,直线l叫作平面α的　垂线　,平面α叫作直线l的　垂面　,唯一的公共点叫作　垂足　. 
问题2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.
符号语言表示:若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,　a∩b=A　,则l⊥α. 
平面与平面垂直的判定定理:假如一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
符号语言表示:若l⊥α,　l⊂β　,则α⊥β. 
问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是　[0°,90°]　. 

从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是　[0°,180°]　. 

问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?
面面垂直判定定理可简述为“　线面垂直　,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不行.该定理告知我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为　线线垂直　的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想. 
直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条　相交直线　垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不行.即 l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒　l⊥α　. 

1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是(　　).
A.相等　　　　　　　 B.互补 C.相等或互补 D.不确定
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是(　　).
A.AB⊥平面BCC1B1 B.AC⊥平面CDD1C1
C.AC⊥平面BDD1B1 D.A1C⊥平面AB1D1
3.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有　　　　个. 
4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC⊥平面AED.

直线与平面垂直的判定与证明

如图所示,Rt△ABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

面面垂直的判定与证明
在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.
求证:平面EFG⊥平面PDC.

平面图形折叠后的垂直问题
如图①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分别为AB,AC上的点,且EF∥BC,AE=2BE.
现将△AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图②所示.
(1)求证:平面AEF⊥平面ABE;
(2)EBBC的值为何值时,EC⊥平面ABF.

在四周体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=22AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D.

如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EF∥AD,AE=1,
将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=5.
求证:(1)CF⊥平面AEFD;
(2)平面AEC⊥平面DFB.

1.二面角是指(　　).
A.两个相交平面构成的图形
B.从一个平面的一条直线动身的一个平面与这个平面构成的图形
C.从一条直线动身的两个半平面构成的图形
D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角

2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN∥平面BCE,则下列结论肯定成立的是(　　).
A.MN∥CE　　
B.AM=FN
C.AM=CM
D.BN=FN

3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图),则图中相互垂直的平面有　　　　对. 
4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,将△ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD⊥平面BDC.

(2021年·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.
　　(1)求证:BC⊥平面PAC;
　　(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.

　　考题变式(我来改编):

第10课时　垂直关系的判定

学问体系梳理
问题1:任意　l⊥α　垂线　垂面　垂足
问题2:a∩b=A　l⊂β
问题3:[0°,90°]　[0°,180°]
问题4:线面垂直　线线垂直　相交直线　l⊥α
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1.C　可以依据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系.

2.B　A正确,由于AB⊥BC且AB⊥BB1.
所以AB⊥平面BCC1B1.
C正确,由于BB1⊥平面ABCD,
所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.
D正确,由于B1D1⊥平面A1ACC1,
所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.
所以A1C⊥平面AB1D1.
3.很多　可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.
4.解:∵AB=AC,DB=DC,
∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,
∴BC⊥平面AED.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D为AC的中点,
∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,
∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,
由(1)可知,SD⊥平面ABC ,∴SD⊥BD.
∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.
【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们留意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不有用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了便利.
　　探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.
∴PD⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,
∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,
∴平面EFG⊥平面PDC.
【小结】要证平面EFG⊥平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.
　　探究三:【解析】 (1)由图①知:∠B=90°,EF∥BC ,
所以EF⊥AB,EF⊥AE,又由于EF⊥BE,且AE∩BE=E,
所以EF⊥平面ABE,又由于EF⊂平面AEF,
所以平面AEF⊥平面ABE.
(2)由于AB⊥平面BEFC,EC⊂平面BEFC,
所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,
则只需EC⊥BF即可,
当∠ECB=∠EBF时,EC⊥BF,
由于从图①可知EFBC=AEAB=23,
所以∠ECB=∠EBF时,tan∠ECB=tan∠EBF,
即EFEB=23BCEB=EBBC,得EBBC=63,
所以EBBC=63时,EC⊥平面ABF.
【小结】观看折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,留意到不变的元素有哪些,留意已知条件在两种图形间的转化关系.
思维拓展应用
应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,
∵E,F分别为AD,BC的中点,
∴EG􀱀12AC,FG􀱀12BD.
又AC=BD,∴FG=12AC,
∴在△EFG中,EG2+FG2=12AC2=EF2,
∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.
又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,
∴BD⊥平面ACD.
　　应用二:连接AC且AC∩BD=O,则AC⊥BD,
又M,N分别是AB,BC的中点,

∴MN∥AC,∴MN⊥BD.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴BB1⊥平面ABCD.
∵MN⊂平面ABCD,
∴BB1⊥MN.
∵BD∩BB1=B,
∴MN⊥平面BB1D1D.
∵MN⊂平面B1MN,
∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.
　　应用三:(1)矩形ABCD中,由于EF∥AD,
所以EF⊥CD,又由于DF=AE=1,FC=BE=2,
所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,
DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,
所以CF⊥平面AEFD.
(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,
又由于DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,
所以DF⊥平面BCFE,EC⊂平面BCFE,
所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,
所以EC⊥平面DFB,且EC⊂平面AEC,
所以平面AEC⊥平面DFB.
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1.C　留意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.
2.B　过M作MG∥BC交AB于G,连接NG,又MN∥平面BCE,
所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以AMAC=AGAB=FNFB,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.
3.5　面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.
4.解:由于AD⊥BC,所以在三棱锥B-ADC中,
AD⊥BD,AD⊥DC, BD∩DC=D,
所以AD⊥平面BDC.
全新视角拓展
(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.

(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.
由Q为PA中点,得QM∥PC,又O为AB中点,得OM∥BC.
由于QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,
MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,
BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,
所以平面QMO∥平面PBC.
由于QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.
思维导图构建
　　锐角　α⊥β　90°