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第8课时 圆的标准方程
1.正确把握圆的标准方程及其推导过程.
2.会依据圆心坐标、半径娴熟地写出圆的标准方程以及由圆的标准方程娴熟地求出圆心和半径;由不同的已知条件求得圆的标准方程.
3.把握点与圆位置关系的判定.
古今中外都有很多的圆形建筑,如中国的北京天坛、罗马的圆形竞技场等,如何在直角坐标系中争辩圆的方程和性质呢?
前面我们已经学过直线方程的概念、直线斜率及直线方程的常见表达式,我们知道了关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,那么曲线方程会有怎样的表达式呢?这节课让我们一起来学习最常见的曲线方程——圆的标准方程.
问题1:(1)圆的定义:平面内到肯定点距离等于定长的点的轨迹称为 .定点是 圆心 ,定长是圆的 半径 .圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.
(2)圆的标准方程:设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r>0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是P={M||MA|=r},由两点间的距离公式知点M适合的条件可以表示为 (x-a)2+(y-b)2=r ,化简得: (x-a)2+(y-b)2=r2 .①
若点M(x,y)在圆上,由上述争辩可知,点M的坐标适合方程①;反之,若点M(x,y)的坐标适合方程①,这说明点M与圆心的距离是r,即点M在圆心为A的圆上.所以我们把方程①称为圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程,即圆的标准方程.
问题2:圆的标准方程的特点: (x-a)2+(y-b)2=r2 是二元二次方程,括号内变数x,y的系数都是1,开放后没有xy项.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2 .
问题3:坐标平面内的点与圆的位置关系:设点M(x0,y0),则依据圆的标准方程可得坐标平面内的点和圆的关系如下:(1)点在圆外⇔ (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ;(2)点在圆上⇔ (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ;(3)点在圆内⇔ (x0-a)2+(y0-b)2<r2 .
问题4:圆的直径式方程:已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1)、B(x2,y2),依据中点坐标公式求圆心,依据两点间距离公式求半径,然后代入圆的标准方程就可以得到结论 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 .这个公式叫作圆的直径式方程,要求同学生疏,不要求记忆.
1.圆心是C(2,-3),且经过原点的圆的方程为( ).
A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13
C.(x+2)2+(y-3)2=13 D.(x-2)2+(y+3)2=13
2.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( ).
A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a<-1或a>1 D.a=±1
3.已知点A(3,-2),B(-5,4),以线段AB为直径的圆的标准方程为 .
4.已知圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且这个圆经过点A(6,1),求该圆的标准方程.
求圆的标准方程
依据下列条件,求圆的标准方程:
(1)圆心为点C(-2,1),并过点A(2,-2)的圆.
(2)过点(0,1)和点(2,1),半径为5.
推断点与圆的位置关系
已知两点P(-5,6)和Q(5,-4),求以P、Q为直径端点的圆的标准方程,并推断点A(2,2),B(1,8),C(6,5)是在圆上,在圆内,还是在圆外.
依据已知条件求圆中参数的范围
已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点.
求圆心在点C(1,3),并与直线3x-4y-6=0相切的圆的标准方程.
以原点为圆心,且过点(3,-4)的圆的标准方程是 ,那么点(2,3)在圆 (内、上、外).
已知圆的标准方程是:(x+m)2+(y-2)2=(m+1)2+3,求半径最小时的圆心坐标和半径.
1.圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是( ).
A.(2,1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(-2,-1)
2.已知圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( ).
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
3.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的标准方程为 .
4.若点P(1,1)为圆C:(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,求弦MN所在的直线方程.
(2011年·安徽卷)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( ).
A.-1 B.1 C.3 D.-3
考题变式(我来改编):
第8课时 圆的标准方程
学问体系梳理
问题1:(1)圆 圆心 半径 (2)(x-a)2+(y-b)2=r (x-a)2+(y-b)2=r2
问题2:(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2
问题3:(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2
问题4:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
基础学习沟通
1.B 由于圆C经过坐标原点,所以圆C的半径r=22+(-3)2=13.因此所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=(13)2=13.
2.A 由题知(1-a)2+(1+a)2<4⇒2a2<2⇒a2<1⇒-1<a<1,选A.
3.(x+1)2+(y-1)2=25 由中点坐标公式知AB中点为(-1,1),即圆心坐标为(-1,1).又|AB|=(3+5)2+(-2-4)2=10,∴半径为5,∴圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=25.
4.解:由题意可设圆心(3a,a),半径r=|3a|.∴圆的标准方程为(x-3a)2+(y-a)2=9a2,代入A(6,1),解得a=1或a=37.∴该圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=12321.
重点难点探究
探究一:【解析】 (1)∵点A(2,-2)在圆上,∴所求圆的半径为r=|CA|=(-2-2)2+(1+2)2=5.又∵圆心为C(-2,1),∴所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2= 25.
(2)设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=5.
已知圆过点(0,1),(2,1),代入圆的方程,
得 a=1,b=-1 或a=1,b=3.
因此,所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或(x-1)2+(y-3)2=5.
【小结】求圆的方程的方法
(1)定义法:直接求出圆心坐标和半径.
(2)待定系数法:
①设圆的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2;
②由条件列方程(组)解得a,b,r的值;
③写出圆的标准方程.
探究二:【解析】 由已知条件及圆的性质知,圆心M为直径PQ的中点,故圆心坐标为M(0,1),
半径r=12|PQ|=12(-5-5)2+(6+4)2=52.所以圆的标准方程为x2+(y-1)2=50.
因|AM|=(2-0)2+(2-1)2=5<r,故点A在圆内.
因|BM|=(1-0)2+(8-1)2=50=r,故点B在圆上.
因|CM|=(6-0)2+(5-1)2=52>r,故点C在圆外.
【小结】推断点A与圆C的位置关系,一般用点A(x0,y0)到圆心C的距离d与半径r作比较,结合两点间距离公式:若d<r,则点A在圆内;若d=r,则点A在圆上;若d>r,则点A在圆外.也可以直接推断:若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点A在圆内;若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点A在圆上;若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点A在圆外.
探究三:【解析】 直线l的方程可化为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.
由2x+y-7=0,x+y-4=0 得x=3,y=1,
即l恒过定点A(3,1).
∵圆心C(1,2),|AC|=5<5(半径),
∴点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点.
【小结】对于直线系方程要变形后找到定点.
思维拓展应用
应用一:已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程.由于圆C和直线3x-4y-6=0相切,所以半径r等于圆心C(1,3)到这条直线的距离,依据点到直线的距离公式,得r=|3×1-4×3-6|32+(-4)2=155=3.
因此,所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9.
应用二:x2+y2=25 内 由已知得半径为5,圆的标准方程是x2+y2=25,把点(2,3)代入得22+32=13<25,所以点在圆内.
应用三:由题知当m=-1时,rmin=3,此时圆心坐标为(1,2).
基础智能检测
1.B 依据圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2知圆心坐标为(2,-1),选B.
2.C 把点P(3,2)代入(x-2)2+(y-3)2=(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P在圆内,选C.
3.x2+(y-4)2=25 由题意可设圆的标准方程为x2+(y-4)2=r2,将点(3,0)代入得r2=25,故所求圆的标准方程为x2+(y-4)2=25.
4.解:由题知圆心C(3,0),∴kPC=0-13-1=-12,又PC⊥MN,∴kMN=2,
∴弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),
即2x-y-1=0.
全新视角拓展
B 圆的方程可变为(x+1)2+(y-2)2=5,即圆心为(-1,2),所以3×(-1)+2+a=0,即a=1.
思维导图构建
待定系数法
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