资源描述
第1课时 直线的倾斜角与斜率
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,了解直线的倾斜角的范围.
2.理解直线的倾斜角和斜率之间的关系以及斜率公式,并能利用过两点的直线斜率的计算公式求直线的倾斜角.
意大利比萨斜塔修建于1173年,由有名建筑师那诺·皮萨诺主持修建.它是比萨城的标志.开头时,塔高设计为100 m左右,但动工五六年后,塔身从三层开头倾斜,直到1372年完工还在持续倾斜,经过600年的风雨沧桑,塔身倾斜度达到了5.3°,偏离中心达4.4 m,岌岌可危,但经过1972年当地的地震,塔体还是倾而不倒,巍然矗立,因此斜塔更加有名遐迩.
问题1:依据材料和图片,我们建立如图所示的平面直角坐标系,比萨斜塔的倾斜角是 .7° .
问题2:(1)直线的倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴 正向 与直线 l向上方向 之间所成的 最小正角α 叫作直线l的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角α为 0° ,因此,直线倾斜角α的取值范围是 0°≤α<180° .
(2)斜率的定义
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的 正切值 叫作这条直线的斜率,常用k表示,即 k=tan α .当直线的倾斜角为90°时,其斜率k不存在.
(3)斜率公式
当直线l经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)时,l的斜率k= .
问题3:当倾斜角α=0°时,k=0,此时直线l与x轴平行或重合;
当0°<α<90°时,k>0,并且随着α的增大而 增大 ;
当α=90°时,k 不存在 ,此时直线l与x轴垂直;
当90°<α<180°时,k<0,并且随着α的增大而 增大 .
特殊地,当α=45°时,其斜率k= 1 .
总之,倾斜角与斜率k之间的关系可用下图来表示:
问题4:用表格的形式直观表述直线的倾斜角与斜率k之间的关系:
直线状况
平行于x轴
由左向右上升
垂直于x轴
由右向左上升
α的大小
α=0°
0°<α<90°
α=90°
90°<α<180°
k的范围
k=0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
不增不减
单调递增
不存在
单调递增
1.若经过P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率为1,则m等于( ).
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
2.若三点A(-2,3),B(3,-2),C(12,m)共线,则m等于( ).
A.1 B.2 C.12 D.2或12
3.已知直线斜率的确定值等于1,则直线的倾斜角是 .
4.设直线的斜率是k,且-1<k<3,求直线倾斜角α的取值范围.
求直线的斜率和倾斜角
已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1),求直线AB、BC、CA的斜率,并推断它们的倾斜角是钝角还是锐角,并求直线CA的倾斜角.
直线的斜率的取值范围
已知直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.
求直线倾斜角的取值范围
已知直线l的斜率k≤1,求倾斜角α的取值范围.
(1)已知点A(-3,2)、C(0,-1),求直线AC的斜率.
(2)已知直线CA的倾斜角为135°,C(0,-1),A(-3,n),求n的值.
已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线l经过定点A(0,-1)且与线段PQ有交点,求直线l的斜率k的取值范围.
已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,求直线l的倾斜角的取值范围.
1.下列说法中,正确的是( ).
A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
B.有倾斜角的直线都有斜率
C.若直线的倾斜角为α,则sin α>0
D.任始终线都有倾斜角,但它不肯定有斜率
2.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则成立的是( ).
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k1<k3<k2
D.k3<k2<k1
3.已知直线l经过两点A(3,3),B(6,23),而直线l1的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍,则直线l1的斜率为 .
4.若直线l沿x轴的负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,求直线l的斜率.
直线l过点A(1,2),且不过第四象限,那么直线l的斜率的取值范围是( ).
A.[0,2] B.[0,1] C.[0,12] D.(0,12)
考题变式(我来改编):
其次章 解析几何初步
第1课时 直线的倾斜角与斜率
学问体系梳理
问题1:84.7°
问题2:(1)正向 l向上方向 最小正角α 0°
0°≤α<180°
(2)正切值 k=tan α (3)y2-y1x2-x1(其中x1≠x2)
问题3:增大 不存在 增大 1
问题4:k=0 不存在 k<0 单调递增 单调递增
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1.A 由直线的斜率公式得m-4-2-m=1,所以m=1.
2.C ∵A、B、C三点共线,∴kAB=kAC,
即3+2-2-3=m-312+2,解得m=12.
3.45°或135° 设直线的斜率为k,由|k|=1,得k=±1,
当k=1时,直线的倾斜角为45°,
当k=-1时,直线的倾斜角为135°.
所以所求直线的倾斜角为45°或135°.
4.解:当k∈[0,3)时,α∈[0°,60°);当k∈(-1,0)时,α∈(135°,180°).所以直线倾斜角α的取值范围为[0°,60°)∪(135°,180°).
重点难点探究
探究一:【解析】 直线AB的斜率k1=17>0,所以它的倾斜角α1是锐角;
直线BC的斜率k2=-12<0,所以它的倾斜角α2是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α3是锐角,且为45°.
【小结】运用斜率公式时要留意下面三点:
(1)k的值与P1、P2的挨次无关;
(2)当x1=x2,即直线与x轴垂直时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°;
(3)当 y1=y2时,直线与x轴平行或重合,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°.
探究二:【解析】 如图所示,直线PA的斜率kPA=2-(-3)-1-(-2)=5,
直线PB的斜率kPB=0-23-(-1)=-12.
当直线l围着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时,它的斜率变化范围是[5,+∞);
当直线l围着点P由PC旋转到PB的位置时,它的斜率的变化范围是(-∞,-12].
∴直线l的斜率的取值范围是(-∞,-12]∪[5,+∞).
【小结】本题运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y=tan α的单调性求k的取值范围,数形结合是解析几何中的重要方法.解题时,借助图形及图形性质直观推断,明确解题思路,可以达到快捷解题的目的.
探究三:【解析】∵tan 45°=1,∴k≤1时,α≤45°.
又∵倾斜角α须满足0°≤α<180°,
∴ 0°≤α≤45°,即倾斜角α的取值范围是0°≤α≤45°.
[问题]直线l的斜率k≤1,除了k≥0外,k<0满足吗?
[结论]本题做错的根本缘由是没有搞清斜率k与倾斜角α的对应关系,当k≥0时,对应0°≤α<90°,当k<0时,对应90°<α<180°,故解决本题要分k≥0和k<0两类状况争辩.
于是,正确解答如下:
当0≤k≤1时,∵tan 45°=1,
∴0°≤α≤45°;
当k<0时,90°<α<180°,tan α<0成立.
∴倾斜角α的取值范围是[0°,45°]∪(90°,180°).
【小结】 (1)斜率k=tan α,α为直线倾斜角(α≠90°),知其一的范围可求另一个的范围.
(2)当α=90°时,斜率k不存在;当α=0°时,k=0;当0°<α<90°时,k>0;当90°<α<180°时,k<0.
思维拓展应用
应用一:(1)直线AC的斜率kAC=-1-20-(-3)=-1.
(2)由于直线CA的倾斜角为135°,所以直线CA的斜率kCA=n+1-3=-1,所以n=2.
应用二:
如图,由题知kAP=-1-10+1=-2,kAQ=-1-20-2=32,又由斜率与倾斜角之间的关系知k≤-2或k≥32.
应用三:k=m2-11-2=1-m2≤1,又k=tan α,0°≤α<180°,
所以l的倾斜角的取值范围为[0°,45°]∪(90°,180°).
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1.D 对于A和B,当α=90°时,直线的斜率不存在,∴A和B错;对于C,当直线平行于x轴时,α=0°,而sin 0°=0,∴C错;∴应选D.
2.A ∵l3,l2的倾斜角α3,α2为锐角,且α3>α2.
∴k3>k2>0,l1的倾斜角α1为钝角,∴k1<0.
故k1<k2<k3.
3.3 ∵直线l经过点A(3,3),B(6,23),
∴kl=23-36-3=33,∴直线l1的倾斜角为60°,
∴直线l1的斜率为tan 60°=3.
4.解:设直线l上的某一点A的坐标为(x1,y1),则直线向左平移3个单位,又向上平移1个单位后,得到了点A'的坐标为(x1-3,y1+1),
依据题意知,A'也在直线l上,
所以k=(y1+1)-y1(x1-3)-x1=-13.
全新视角拓展
A 由图知直线l的倾斜角从0°到直线OA的倾斜角时,直线l不经过第四象限,又kOA=2,∴斜率的范围为[0,2],∴选A.
思维导图构建
k不存在
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