【同步辅导】2021高中数学北师大版必修二导学案：《平面直角坐标系中的距离公式》.docx

第6课时　平面直角坐标系中的距离公式

1.把握两点间的距离公式,能依据距离公式求两点间的距离.
2.把握点到直线的距离公式及其简洁应用,理解点到直线的距离公式的推导过程.
3.理解两条平行线间的距离公式,会用公式求两条平行线间的距离,综合体会两点间的距离公式、点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式之间的联系.

如图,在铁路的四周,有一大型仓库.现要修建一条大路与之连接起来.我们来设计下,使大路最短,同时算出最短的路程.这就是今日我们要学习的距离公式.

问题1:两点间的距离
(1)点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. 
(2)坐标法:步骤:①建立　坐标系　,用坐标表示有关的量;②进行有关　代数运算　;③把代数运算结果“翻译”成几何关系. 
问题2:点到直线的距离
将仓库看作一个点P0,将铁路看作一条直线,在平面直角坐标系中,假如已知点P0的坐标为(x0,y0),直线l的方程为Ax+By+C=0(且A2+B2≠0),则点P0(x0,y0)到直线l的距离为　　　　　　　　. 
问题3:使用点到直线的距离公式时要留意的事项
(1)从运动观点来看,点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最　短　距离. 
(2)若给出的直线方程不是一般式,要先化为一般式.
(3)直线上的点到该直线的距离为　0　. 
问题4:两条平行直线间的距离
(1)定义:夹在两条平行直线间　公垂线段　的长叫作这两条平行直线间的距离. 
(2)求法:转化为求点到直线的距离,即在其中任意一条直线上任取一点,这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离.
(3)公式:若l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则　　　　　　　　. 

1.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是(　　).
A.23　　　　　　 B.3+23 C.6+32 D.6+10
2.点(2,1)到直线l:x-2y+2=0的距离为(　　).
A.25 B.255 C.655 D.0
3.已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4),则BC边上的中线AM的长为　　　　. 
4.求过点(2,1)的全部直线中,距离原点最远的直线方程.

求点到直线的距离
求点P(1,2)到下列直线的距离:(1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y轴.

两条平行直线间的距离
求两平行线l1:3x+4y=10和l2:3x+4y=15的距离.

距离公式的应用
直线l1过点A(0,1),直线l2过点B(5,0),假如l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求直线l1与l2的方程.

求点P(a,b)到直线l:xa+yb=1的距离.

求与直线l:5x-12y+6=0平行且距离为2的直线方程.

若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于5,求k的取值范围.

1.已知A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则b等于(　　).
A.-3　　　　　　 B.5 C.-3或5 D.-1或-3
2.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是(　　).
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3.已知点A(2,-1),B(7,2),若y轴上有一点P满足|PA|=|PB|,则点P的坐标为　　　　. 

4.甲船在某港口的东50 km,北30 km处,乙船在同一港口的东14 km,南18 km处,那么甲、乙两船的距离是多少?

　　(2011年·北京卷)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　).
A.4　　　　 B.3　　　　 C.2　　　　 D.1
　　考题变式(我来改编):

第6课时　平面直角坐标系中的距离公式

学问体系梳理
问题1:(1)(x2-x1)2+(y2-y1)2　(2)①坐标系
②代数运算
问题2:d=|Ax0+By0+C|A2+B2
问题3:(1)短　(3)0
问题4:(1)公垂线段　(3)d=|C1-C2|A2+B2
基础学习沟通
1.C　|AB|=(2+1)2+32=32,|BC|=(2+1)2+0=3,|AC|=(2-2)2+32=3,
则△ABC的周长为6+32.故选C.
2.B　由点到直线的距离公式知:
d=|2-2+2|1+(-2)2=25=255.
故选B.
3.65　BC的中点为M(6,0),|AM|=(6-7)2+(0-8)2=65.
4.解:距离原点最远的直线到原点的距离为22+12=5,即直线垂直于(2,1)点与原点的连线,斜率为-2,故直线为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
重点难点探究
探究一:【解析】 (1)将直线方程化为一般式:x-y-3=0,
由点到直线的距离公式得d1=|1-2-3|1+(-1)2=22.
(2)(法一)直线方程化为一般式:y+1=0,
由点到直线的距离公式得d2=|0+2+1|02+12=3.
(法二)∵y=-1平行于x轴,如图,

∴d2=|-1-2|=3.
(3)(法一)y轴的方程为x=0,
由点到直线的距离公式得d3=|1+0+0|12+02=1.
(法二)如图可知,

d3=|1-0|=1.
【小结】求点到直线的距离,要留意公式的条件,即先将直线方程化为一般式.对于特殊直线可接受数形结合的思想方法求解.
探究二:【解析】(法一)若在直线l1上取一点A(2,1),则点A到直线l2的距离即是所求的平行线间的距离.
l2的方程可化为:3x+4y-15=0,
∴d=|3×2+4×1-15|32+42=1.
(法二)直线l1、l2的方程可化为
3x+4y-10=0,3x+4y-15=0,
则两平行线间的距离为
d=|-15-(-10)|32+42=55=1.
【小结】求两平行直线间的距离有两种思路:
(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离;
(2)直接利用两平行线间的距离公式d=|C2-C1|A2+B2,但留意两直线方程中x,y的系数必需对应相等.
探究三:【解析】设l1:y=kx+1,l2:y=k(x-5),
即l1:kx-y+1=0,l2:kx-y-5k=0.
l1与l2之间的距离d=|1-(-5k)|k2+(-1)2=5,解得k=125.
∴直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.
[问题]直线l1、l2的斜率都肯定存在吗?假如斜率不存在呢?
[结论]本题出错的缘由是忽视了直线方程的点斜式、斜截式的前提条件,这类问题的解决方式应分斜率不存在和斜率存在两种状况争辩.
于是,正确解答如下:
(1)若直线l1、l2的斜率都不存在,则l1:x=0,l2:x=5,它们之间的距离为5,满足题意.
(2)若直线l1、l2的斜率存在,则可设l1:y=kx+1,l2:y=k(x-5),即l1:kx-y+1=0,l2:kx-y-5k=0.
l1与l2之间的距离d=|1-(-5k)|k2+(-1)2=5,解得k=125.
∴直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.
综上,直线l1:x=0,l2:x=5或直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.
【小结】本题考查了直线的点斜式方程和两平行直线的距离公式,在处理直线问题时,应当考虑斜率是否存在,留意分类争辩、数形结合的思想始终要有.
思维拓展应用
应用一:直线l的方程可化为bx+ay-ab=0,
∴点P到直线l的距离d=|ba+ab-ab|b2+a2=|ab|a2+b2.
应用二:由题意可设所求直线方程为5x-12y+c=0.
依据两平行直线间的距离公式得|c-6|52+(-12)2=2,
解之得c=32或c=-20.
所以所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
应用三:y=-2x-k-2化为2x+y+k+2=0,
∴0<|k+2+4|22+12≤5,0<|k+6|≤5.
∴-5≤k+6≤5且k+6≠0.
∴-11≤k≤-1且k≠-6.
基础智能检测
1.C　|AB|2=(2+1)2+(1-b)2=25,即1-b=±4,
∴b=-3或5,故选C.
2.B　|AB|=(5-1)2+(5-4)2=17,
|BC|=(4-1)2+(1-4)2=32,
|AC|=(5-4)2+(5-1)2=17.故选B.
3.(0,1)　设P点坐标为(0,y),则由两点间的距离公式得
|PA|=(y+1)2+4=y2+2y+5,
|PB|=(y-2)2+(0-7)2=y2-4y+11.
由|PA|=|PB|可得y2+2y+5=y2-4y+11,
∴y=1,即P(0,1).
4.解:以港口为坐标原点,正北、正东方向分别为y轴、x轴的正方向,建立平面直角坐标系,
则甲、乙的坐标分别为(50,30)、(14,-18),
∴甲、乙两船的距离为(50-14)2+(30+18)2=362+482=60 km.
全新视角拓展
A　设C(x,y), 直线AB:x+y-2=0,|AB|=22,点C到直线AB的距离为d=|x+y-2|2.又由于点C在y=x2上,所以d=|x+x2-2|2.则S△ABC=12×22×|x+x2-2|2=2,解得x=0或-1或-1-172或-1+172.所以满足条件的点有4个. 选A.