【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.5.docx

第九章 9.5第5课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)
A．10　　　　　　　　　　B．12
C．16 D．20
答案　D

解析　如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又e＝＝，即c＝a，
∴a2－c2＝a2＝b2＝16，∴a＝5，△ABF2的周长为20.
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．4
答案　A
解析　长轴长为2a＝，短轴长为2，∴＝4.
∴m＝.
3．已知方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围为(　　)
A．k>－3且k≠－ B．－3<k<2且k≠－
C．k>2 D．k<－3
答案　B
解析　只需满足：.
4．椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由d1＋d2＝2a＝4c，
∴e＝＝.
5．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
答案　D
解析　三角形的面积S＝·2c·b＝bc＝1，
∴a2＝b2＋c2≥2bc＝2.∴a≥.∴2a≥2.选D.
6．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(3，)
C．(0,3)∪(，＋∞) D．(0,2)
答案　C
解析　当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；
当0<k<4时，c＝，
由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C.
7．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．
8．已知椭圆＋＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当·的最小值时|＋|取值为(　　)
A．0 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　由已知得a＝2，b＝，c＝1，所以F2(1,0)，A1(－2,0)，设P(x，y)，则·＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2.又点P(x，y)在椭圆上，所以y2＝3－x2，代入上式，
得·＝x2＋x＋1＝ (x＋2)2，
又x∈[－2,2]，
∴x＝－2时，·取得最小值．
所以P(－2,0)，求得|＋|＝3.
二、填空题
9．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为______________．
答案　8
解析　直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)，而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.
10．已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线相互垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(－1)，则此椭圆方程是________．
答案　＋＝1
解析　由题意，得解得
所以椭圆方程为＋＝1.
11.

如图，F1和F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为________．
答案　－1
解析　依题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝30°，
∴|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c.
由椭圆的定义得|AF2|＋|AF1|＝2a，(＋1)c＝2a⇒e＝＝－1.
12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2c，点A在椭圆上，·＝0，·＝c2，则椭圆的离心率e等于________．
答案　
解析　不妨设A在x轴上方，由·＝0知：A，＝，＝，∴·＝0＋＝c2，∴b4＝a2c2，(a2－c2)2＝a2c2，∴c4－3a2c2＋a4＝0，c2＝a2，∴e2＝，∴e＝.
13．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案　(0，)
解析　依题意得， c<b，即c2<b2，c2<a2－c2,2c2<a2，故离心率e＝<，又0<e<1，∴0<<.
三、解答题
14.

如图所示：已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足＝2，·＝0，点N的轨迹为曲线E，求曲线E的方程．
解析　∵＝2，·＝0，
∴NP为AM的垂直平分线，
∴|NA|＝|NM|，又|CN|＋|NM|＝2，
∴|CN|＋|NA|＝2>2.
∴动点N的轨迹为以点C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且2a＝2，2c＝2，∴a＝，c＝1.
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
15．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
解析　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意，得
解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.
由于＝(x－m，y)，
所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12·(1－)＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.
由于当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x＝4时，||2取得最小值，而x∈[－4,4]，
故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，所以－4≤m≤4.
故实数m的取值范围是[1,4]．

16．已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；
解析　(1)设椭圆E的方程为＋＝1，
由e＝，即＝，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.
∴椭圆方程可化为＋＝1.
将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，所以直线AF1的方程为：y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为：x＝2.
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．
设P(x，y)为l上任一点，则＝|x－2|.
若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)．
于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，
得2x－y－1＝0，
所以直线l的方程为：2x－y－1＝0.

拓展练习·自助餐

1．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k等于(　　)
A．－1 B．1
C. D．－
答案　B
解析　化为标准方程：x2＋＝1.∵焦点为(0,2)，∴焦点在y轴，且c＝－2，∴＝4＋1，∴k＝1.
2．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点．则|ON|等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D.
答案　B
解析　|ON|＝|MF2|＝(2a－|MF1|)＝(10－2)＝4，故选B.
3．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C．2－ D.－1
答案　D
解析　数形结合：令F1F2＝1，则|PF2|＝1，|PF1|＝.
∴e＝＝＝＝－1
4．(09·江西)已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点；M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　解法一　∵|F1F2|＝2c，MF1⊥x轴，
∴|MF1|＝c，|MF2|＝c.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝2c.∴e＝＝.
解法二　由F1(－c,0)，将x＝－c代入＋＝1，
得y＝，
∵＝，∴＝.
∵b2＝a2－c2，∴＝，即＝.
解得e＝－(舍)，e＝.
5．若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________．
答案　2
解析　由题意可知，O(0,0)，F(1,0)，设P(cosα，sinα)，则|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋ (cosα－1)2＋sin2α＝2cos2α－2cosα＋3＝2(cosα－)2＋2，所以当cosα＝时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2.

老师备选题

1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
答案　(－1,1)
解析　依题意及正弦定理得＝(留意到P不与F1F2共线)，即＝，∴－1＝，∴＝＋1>，即e＋1>，∴(e＋1)2>2.又0<e<1，因此－1<e<1.
2．如下图，椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一动点M，求|MP|＋|MF|的最值．

解析　设椭圆的另一个焦点为F′，由椭圆定义及基本几何不等式得：
|MP|＋|MF|＝|MP|＋4－|MF′|＝4＋|MP|－|MF′|≤4＋|PF′|
＝4＋＝4＋
∴当M，P，F′共线且F′在线段MP上时取等号．
即(|MP|＋|MF|)max＝4＋
又∵|MP|＋|MF|＝|MP|＋4－|MF′|
＝4－(|MF′|－|MP|)≥4－|PF′|.
∴当F′，P，M三点且点P在线段MF′上时取等号．
即(|MP|＋|MF|)min＝4－.
3．设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值．
解析　由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2.
依据直角的不同位置，分两种状况：
若∠PF2F1为直角，则
|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
即|PF1|＝，|PF2|＝.
故＝.
若∠F1PF2为直角，则
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，
得|PF1|＝4，|PF2|＝2.故＝2.
综上，的值为或2.
4.

如图所示，已知△OFQ的面积为S，且·＝1.
(1)若<S<2，求向量与的夹角θ的正切值的取值范围．
(2)设||＝c(c≥2)，S＝c，若以O为中心、F为焦点的椭圆经过Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程．
解析　(1)由已知，得
∴tanθ＝2S.∵<S<2，∴1<tanθ<4.

(2)以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，Q(x，y)．
c·y＝c，∴y＝.
又∵·＝c(x－c)＝1，∴x＝c＋.
则||＝＝(c≥2)．
可以证明：当c≥2时，函数t＝c＋为增函数，
∴当c＝2时，||min＝＝，
此时Q(，)．将Q的坐标代入椭圆方程，
得解得
∴椭圆方程为＋＝1.
5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)假如＝2，求椭圆C的方程．
解析　(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.
所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，
直线l的方程为y＝(x－2)．
联立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
由于＝2，所以－y1＝2y2.
即＝2·.
得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.