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第2讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题
一、选择题
1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是 ( )．
A．(1,2) B.(1,2]
C．(1，) D.(1，]
解析 由于双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.
答案 B
2．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是 ( )．
A．1 B.
C. D.
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.
答案 D
3．(2022·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( )．
A. B.
C．3 D.2
解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1＞r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则(2c)2＝r＋r－2r1r2cos ，得4c2＝r＋r－r1r2.
由得
∴＋＝＝.
令m＝＝＝
＝，
当＝时，mmax＝，∴max＝，
即＋的最大值为.
答案 A
4．(2022·福建卷)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是 ( )．
A．5 B.＋
C．7＋ D.6
解析 设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，
点C到椭圆上的点Q(cos α，sin α)的距离|CQ|＝＝
＝≤＝5，
当且仅当sin α＝－时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.
答案 D
二、填空题
5．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
解析 由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.
答案 －2
6．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是______．
解析 设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得＞1，即＞1，所以e＝＜2，又e＞1，故1＜e＜2.
答案 (1,2)
7．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________．
解析 可知e＝＝1－，e＝＝1＋，
所以e＋e＝2＞2e1e2⇒0＜e1e2＜1.
答案 (0,1)
8．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________．
解析 由得x2－3x－4＝0，
∴xA＝－1，xD＝4，∴yA＝，yD＝4.
直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．
∴AF＝yA＋1＝，DF＝yD＋1＝5，
∴＝＝.
答案
三、解答题
9．(2022·烟台一模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则b＝2.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当∠APQ＝∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，
由整理得
(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，
x1＋2＝，
同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，
可得x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
∴kAB＝＝
＝＝，
所以直线AB的斜率为定值.
10．(2022·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
(1)写出抛物线C2的标准方程；
(2)求证：以AB为直径的圆过原点；
(3)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
解 (1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由F(1,0)，得p＝2，
∴C2：y2＝4x.
(2)可设AB：x＝4＋ny，联立y2＝4x，得y2－4ny－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，x1x2＝＝16，
∴·＝x1x2＋y1y2＝0，即以AB为直径的圆过原点．
(3)设P(4t2,4t)，则OP的中点(2t2,2t)在直线l上，
∴得n＝±1，又∵t＜0，
∴n＝1，直线l：x＝y＋4.
设椭圆C1：＋＝1，与直线l：x＝y＋4联立可得：
(2a2－1)y2＋8(a2－1)y－a4＋17a2－16＝0，
由Δ≥0，得a≥，
∴长轴长最小值为.
11．(2022·金丽衢十二校联考)如图，过椭圆L的左顶点A(－3,0)和下顶点B(0，－1)且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P.
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)(ⅰ)证明存在实数λ，使得＝λ；
(ⅱ)求|OP|的取值范围．
解 (1)由椭圆L的左顶点为A(－3,0)，下顶点为B(0，－1)可知椭圆L的标准方程为：＋y2＝1.
(2)(ⅰ)证明 由(1)可设直线l1，l2的方程分别为y＝k(x＋3)和y＝kx－1，其中k≠0，则M(0,3k)，N(，0)．
由消去x得(1＋9k2)x2＋54k2x＋81k2－9＝0.
以上方程必有一根－3，由根与系数的关系可得另一根为，故点C的坐标为(，)．
由消去x得(1＋9k2)x2－18kx＝0，
解得一根为，
故点D的坐标为(，)．
由l1与l2平行得＝t ，＝t ，然后，进行坐标运算，即可得出点P的坐标为，而＝(3,3k)，＝.
∴＝(1＋3k)，∴存在实数λ＝1＋3k，
使得＝λ.
(ⅱ)由＝，
法一 由消参得点P的轨迹方程为x＋3y－3＝0，
所以|OP|的最小值为；
法二 得|OP|＝，令t＝1＋3k，
则|OP|＝，其中≠0,1，
∴|OP|的最小值为，故|OP|的取值范围为[，＋∞)．
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