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台州中学2022学年第一学期期中试题
高三 数学（理科）
命题人：杨世长 审题人：宋如谋
参考公式：
柱体的体积公式 球的表面积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 球的体积公式
锥体的体积公式
其中R表示球的半径
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
台体的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
2.设函数是偶函数，且在上单调递增，则（ ▲ ）
A. B. C. D.
3．“3a＞3b”是“lna＞lnb”的（ ▲ ）
A．
充分不必要条件
B．
既不充分也不必要条件
C．
充要条件
D．
必要不充分条件
4．已知为其次象限角，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．若m．n是两条不同的直线，a、b是两个不同的平面，则下列命题不正确的是 ( ▲ )
A．若a∥b，m⊥a，则m⊥b B．若a∩b=m，n与a、b所成的角相等，则m⊥n
C．若m∥a，m⊥b，则a⊥b D．若m∥n，m⊥a，则n⊥a
6.设实数列分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．若，则向量与的夹角为（ ▲ ）
A． B. C. D.
8．已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（ ▲ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（ ▲ ）
A. B. C. D.
10.已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是( ▲ )
A. B. C. D.
二、 填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）
11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为 ▲
12．设为定义在上的奇函数，当时， 则 ▲ ．
13．设变量满足，若目标函数的最小值为0，
则的值等于 ▲
14.已知实数,且,那么的最大值为 ▲
15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为
▲
16． 若数列满足（n∈N*），则该数列的前2021项的乘积 __▲____
17． 对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是 ▲
三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）
18．（本小题满分14分）已知函数．设 时取到最大值．
（1）求的最大值及的值；
（2）在中，角所对的边分别为，，且，求的值．
19．（本小题满分14分）数列的前项和是，且.
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 记，数列的前项和为，若不等式，对任意的正整数恒成立，求的取值范围。
20．（本小题满分15分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，点E在线段PB上，且．
（1）求证：AP⊥BM
（2）求二面角E﹣AM﹣P的大小．
21．（本小题满分15分）已知点在椭圆上，椭圆C的左焦点为（-1，0）
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点T（m,0）交椭圆C于M、N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN//AB，问是否存在正数m，使为定值？若存在，恳求m的值；若不存在，请说明理由。
22. （本小题满分14分）已知函数
（1）若关于x的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）设，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
台州中学2022学年第一学期期中参考答案
高三 数学（理科）
三、简答题：
18.（14分）
解：（1）依题.......4
，则，当即时，7分
（2）由（1）知，由即，………..9分
又，则即，故.......................14分
19.(14分)
解：(1)由题 ① ②
①-②可得，则…………3分
当时 ，则，则是以为首项，为公比的等比数列，
因此. ………………………6分
(2)，…………………8分
所以，………….. 10分
…………………………………………………………………………………..12分
所以…………………………………………………………………………14分
20、（15分）
（Ⅰ）证明：∵ABCD为长方形，AD=1，AB=2，M为DC的中点，
∴AM=，BM=，AB2=AM2+BM2，∴BM⊥AM，……………………2分
又∵平面APM⊥平面ABCM，平面APM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ADM，
∴BM⊥平面APM，………………………………………4分
又∵AP⊂平面APM，∴AP⊥BM．………………………5分
（Ⅱ）解：取AM的中点O，AB的中点N，则OA，ON，OP两两垂直，
以O为原点建立空间直角坐标系，
则A（），B（﹣），
M（﹣），P（0，0，），N（0，，0），
设E（x，y，z），由，得（x，y，z﹣）=，
∴E（﹣），…………………7分
由题意为平面APM的一个法向量，令，……………9分
设平面AME的一个法向量，
，，
则，
取b=1，则c=-1,则 ，…………………11分
∴cos＜＞=，…………………………14分
∴二面角E﹣AM﹣P的大小为．……………15分
21、（15分）
解：（1）椭圆的左焦点为，∴，椭圆的右焦点为
可得，解得， ……2分
∴ ∴椭圆的标准方程为 ……………………4分
（2）设直线，且，由
得……………7分
………………………………………………………………………… 10分
由 得
设
得得……………………12分
而
当时
为定值，当不存在时，定值也为4
…………………………………………………………………15分
22、（14分）
（1）
即…………2分
当时，只有一实数解………4分
（2）………6分
①当即时，
②时，
③当时
④当
⑤当
综上,………………12分
不等式恒成立时的取值范围为…………14分
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