2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题二-第二讲-立体几何综合问题8-【要点导学】.docx

空间几何体的表面积和体积例1(2022江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.【分析】圆柱的体积等于底面积乘以高,确定底面半径与高的大小或比例关系是解题关键.【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1,h1,r2,h2,则2r1h1=2r2h2,即=.又=,所以=,所以=.【点评】解决圆柱的面积或体积问题时,常转化到一些基本量的运算上,比如高、底面圆半径等.近三年江苏高考中每年一道填空题,这一点要特殊关注.变式(2022全国卷改编)若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为.【答案】1【解析】结合图形,可知三棱锥A-B1DC1的高AD=,底面面积=,所以体积为=1.【点评】此题为常见的关于立体几何的基本运算问题.弄清问题的基本运算思路,把握基本方法,进行必要的运算即可解决问题.空间图形的翻折问题例2如图1所示,在边长为12的正方形ADD1A1中,点B,C在线段AD上,AB=3,BC=4,作BB1AA1,分别交A1D1,AD1于点B1,P.作CC1AA1,分别交A1D1,AD1于点C1,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得DD1与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1.(1) 求证:AB平面BCC1B1;(2) 求四棱锥A-BCQP的体积.图1 图2(例2)【分析】翻折问题要时刻关注翻折前后的条件的变与不变.题中翻折前的线段AD就变成了翻折后的ABC,而AB与BC的关系则有转变.(1) 主要考虑翻折后有ABBC与ABBB1;(2) 直接利用体积公式求解即可.【解答】(1) 在正方形ADD1A1中,由于CD=AD-AB-BC=5,所以三棱柱ABC-A1B1C1中ABC的边AC=5.由于AB=3,BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以ABBC.由于四边形ADD1A1为正方形,AA1BB1,所以ABBB1.又BCBB1=B,BC,BB1平面BCC1B1,所以AB平面BCC1B1.(2) 由于AB平面BCC1B1,所以AB为四棱锥A-BCQP的高.由于四边形BCQP为直角梯形,且BP=AB=3,CQ=AB+BC=7,所以梯形BCQP的面积为S梯形BCQP=(BP+CQ)BC=(3+7)4=20,所以四棱锥A-BCQP的体积=S梯形BCQPAB=20.变式(2022广东卷)如图1,已知四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图2所示的折叠,折痕EFDC. 其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,且MFCF.(1) 求证:CF平面MDF;(2) 求三棱锥M-CDE的体积.图1 图2(变式)【解答】(1) 由于PD平面ABCD,PD平面PCD,所以平面PCD平面ABCD,而平面PCD平面ABCD=CD,MD平面ABCD,MDCD,所以MD平面PCD.由于CF平面PCD,所以CFMD.又CFMF,MD,MF平面MDF,且MDMF=M,所以CF平面MDF.(2) 由于CF平面MDF,DF平面MDF,所以CFDF.又易知PCD=60,所以CDF=30,所以CF=CD=.由于EFDC,所以=,即=,所以DE=,所以PE=,所以SCDE=CDDE=,MD=,所以=SCDEMD=.存在性问题争辩例3(2022四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形.(1) 若ACBC,求证:直线BC平面ACC1A1.(2) 设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.(例3)【分析】结合条件ACBC,再证得BCAA1,即可证明直线BC平面ACC1A1.先找到点,再证明该点满足条件.若在条件中多次毁灭“中点”,即可找“中点”并验证.【解答】由于四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.由于AB,AC为平面ABC内的两条相交直线,所以AA1平面ABC.由于直线BC平面ABC,所以AA1BC.又已知ACBC,且AA1,AC为平面ACC1A1内的两条相交直线,所以BC平面ACC1A1.(例3)(2) 当点M为线段AB的中点时,DE平面A1MC.证明如下:如图,取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C与AC1的交点,由题知O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MD=AC,OE=AC,且MDAC,OEAC,因此MDOE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,所以DEMO.由于直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.变式如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60,Q为AD的中点.(1) 若PA=PD,求证:平面PQB平面PAD;(2) 若点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA平面MQB.(变式)【分析】要证面面平行,先证线面平行,题中关键要证AD平面PQB.【解答】(1) 由于PA=PD,Q为AD的中点,所以PQAD.连接BD,由于四边形ABCD为菱形,DAB=60,所以AB=BD,所以BQAD.由于BQ平面PQB,PQ平面PQB,BQPQ=Q,所以AD平面PQB.由于AD平面PAD,所以平面PQB平面PAD.(2) 当且仅当t=时,PA平面MQB.证明如下:(变式)连接AC,设ACBQ=O,连接OM.在AOQ与COB中,由于ADBC,所以QOA=BOC,OAQ=OCB.所以AOQCOB,所以=,所以=. 由于过直线PA的平面PAC与平面MQB的交线为MO,且PA平面MQB,所以PAMO,所以=,故所求t=.【点评】一般地,立体几何题目中的参数常见的有与中点相关的,及与三等分点有关的.当然,具体数量由题目条件确定.