资源描述
向量的基本运算
例1 如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是 .
(例1)
【分析】 求向量的数量积可用向量的数量积公式,在用公式不太便利时,常利用平面对量基本定理,选择两个特殊向量作为基底,把所求向量用基底表示,再用向量数量积公式进行运算.假如图形是特殊图形,可以考虑建立坐标系,利用向量的坐标进行运算.
【答案】
(例1)
【解析】 方法一:坐标法.
如图,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),F(x,2).故=(,0),=(x,2),=(,1),=(x-,2),所以·=(,0)·(x,2)=x=,所以x=1,所以=(1-,2),所以·=(,1)·(1-,2)=-2+2=.
方法二:设=x,则=(x-1).
·=·(+)=·(+x)=x=2x,又由于·=,所以2x=,所以x=,所以=+=+,
所以·=(+)·[+]=(+)[+]=||2+||2=×2+×4=.
【点评】 本题考查平面对量基本定理,向量的数量积公式,向量的坐标运算.向量的数量积的计算通过利用平面对量的基本定理,转化为已知向量的数量积;对于特殊图形,通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求出结果.
变式1 已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 .
【答案】 5
【解析】 方法一:以D为坐标原点,DA,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x,则D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),
(变式1)
=(2,-x),=(1,a-x),
所以+3=(5,3a-4x),
|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,所以|+3|的最小值为5.
方法二:设=x(0<x<1),所以=(1-x),
=-=-x,=+=(1-x)+,
所以+3=+(3-4x),
|+3|2=||2+2××(3-4x)·+(3-4x)2·||2=25+(3-4x)2||2≥25,
所以|+3|的最小值为5.
变式2 (2021·通州中学)在△ABC中,已知·=9,sinB=cosA·sinC,S△ABC=6,P为线段AB上的点,且=x·+y·,则xy的最大值为 .
【答案】 3
【解析】 由·=9,得bc·cosA=9.又sinB=cosA·sinC,所以b=c·cosA.又S△ABC=6,所以bc·sinA=6,由上述三式可解得b=3,c=5,cosA=,sinA=.由余弦定理得a2=32+52-2×3×5×=16,a=4,可见△ABC是直角三角形,以c为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则=(3,0),=(0,4),=(1,0),=(0,1),则=x·+y·=x(1,0)+y(0,1)=(x,y),故P(x,y),而P在直线AB上,又直线AB的方程lAB:+=1,所以P(x,y)满足+=1(x>0,y>0).依据基本不等式知+≥2,所以xy≤3,即xy的最大值为3.
向量与解三角形
例2 已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为,且m·n=-1.
(1) 求向量n;
(2) 若向量n与q=(1,0)共线,向量p=,其中A,C为△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,求|n+p|的取值范围.
【分析】 (1) 利用数量积坐标公式和方程思想求出n的坐标;(2) 利用三角形内角和为π与三角公式将|n+p|转化为求一个角的三角函数的范围问题.
【解答】 (1) 设n(x,y),由m·n=-1,得x+y=-1,①
又向量n与m的夹角为,得x2+y2=1.②
由①②解得或
所以n=(-1,0)或n=(0,-1).
(2) 由向量n与q=(1,0)共线知n=(-1,0).
由2B=A+C,知B=,
A+C=,0<A<.
n+p==(cos C,cos A),
所以|n+p|2=cos2C+cos2A
=+
=1+
=1+cos,
由于0<A<,
所以<2A+<,-1≤cos<,
得≤1+cos<,
即|n+p|2∈,
所以|n+p|∈.
变式 已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1) 若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
(2) 若m⊥p,边长c=2,C=,求△ABC的面积S.
【解答】 (1) 由于m∥n,所以asin A=bsin B,由正弦定理得a2=b2,所以a=b,
所以△ABC为等腰三角形.
(2) 由题意可知m·p=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0,
所以a+b=ab.
由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
即(ab)2-3ab-4=0,
所以ab=4或-1(舍去),
所以S=absin C=·4·sin =.
三角函数与导数
例3 (2022·南通期末)如图,一块弓形薄铁片EMF,
(例3)
点M为的中点,其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内),∠EOF=.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗),AD∥EF,且点A,D在上,设∠AOD=2θ.
(1) 求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式;
(2) 当矩形铁片ABCD的面积最大时,求cosθ的值.
【解答】 (1) 设矩形铁片的面积为S,∠AOM=θ.
当0<θ<时(如图1),AB=4cosθ+2,AD=2×4sinθ,S=AB×AD=(4cosθ+2)(2×4sinθ)=16sinθ(2cosθ+1).当≤θ<时(如图2),AB=2×4cosθ,AD=2×4sinθ,
图1 图2
(例3)
故S=AB×AD=64sinθcosθ=32sin2θ.
综上,矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为
S=
(2) 当0<θ<时,对S求导,得
S'=16[cosθ(2cosθ+1)+sinθ(-2sinθ)]
=16(4cos2θ+cosθ-2).
令S'=0,得cosθ=.记区间内余弦值等于的角为θ0(唯一存在).列表:
θ
(0,θ0)
θ0
S'
+
0
-
S
↗
极大值
↘
又当≤θ<时,S=32sin2θ在上是单调减函数,所以当θ=θ0时,矩形的面积最大,此时cosθ=.
【点评】 依据条件,分段列出面积S的表达式是解决本题的关键.
变式 (2022·南通三调)某风景区在一个直径AB为100 m的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带;从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路,在路的一侧边缘种植绿化带.设∠BAC=θ(单位:弧度)(注:小路及绿化带的宽度忽视不计).
(变式)
(1) 将绿化带总长度表示为θ的函数s(θ);
(2) 试确定θ的值,使得绿化带总长度最大.
【解答】 (1) 如图,连接BC,设圆心为O,连接CO.在Rt△ABC中,AB=100,∠BAC=θ,
(变式)
所以AC=100cosθ.
由于∠BOC=2∠BAC=2θ,所以弧BC的长为50×2θ=100θ.所以s(θ)=2×100cosθ+100θ,
即s(θ)=200cosθ+100θ,θ∈.
(2) s'(θ)=100(-2sinθ+1),
令s'(θ)=0,则θ=,列表如下:
θ
s'(θ)
+
0
-
s(θ)
↗
极大值
↘
所以当θ=时,s(θ)取得极大值,即为最大值.
故当θ=时,绿化带总长度最大.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
