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模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(湖南高考)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B z＝i·(1＋i)＝－1＋i，在复平面上对应点的坐标为(－1,1)，其在其次象限．
2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
解析：选A 由于b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0，所以选A.
3．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析：选C 只有平行四边形与平行六面体较为接近．
4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析：选D 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.
5．实数系的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为( )
A．有理数、零、整数 B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数 D．整数、有理数、零
解析：选B 由实数系的包含关系知B正确．
6．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i.若为实数，则实数m的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ＝＝
＝.
∵为实数，∴6＋4m＝0，∴m＝－.
7．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D 由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，由于定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(－x)＝－g(x)．
8．观看下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.
记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，
∴52 011与57的末四位数相同，均为8 125.
9．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 第一次运行得s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；其次次运行得s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次运行得s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次运行得s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次运行得s＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k的值是5，故选C.
10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9.现发觉表中有一个数据模糊不清，经推断可知该数据为( )
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
A．70 B．68
C．66 D．64
解析：选B 依题意得，＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.由于直线＝0.67x＋54.9必过点(，)，于是有＝0.67×30＋54.9＝75，因此表中的模糊数据是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．复数z＝的共轭复数为________．
解析：z＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i.
答案：－1－i
12．图1有面积关系：＝，则图2有体积关系：＝________.
解析：把平面中三角形的学问类比到空间三棱锥中，得＝.
答案：
13．读下面的流程图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．
解析：①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，④A＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝2×1＝2.
答案：2
14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，其次个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则用n表示的f(n)＝________.
解析：由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推想当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，
所以f(n)＝3n2－3n＋1.
答案：3n2－3n＋1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤．)
15．(本小题满分12分)小流域综合治理可以有3个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水浇灌，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和进展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜掩盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．试画出小流域综合治理开发模式的结构图．
解：依据题意，3个措施为结构图的第一层，每个措施中具体的实现方式为结构图的其次层，每个措施实施所要达到的治理功能为结构图的第三层，各类功能所体现的具体内容为结构图的第四层．小流域综合治理开发模式的结构图如图所示．
16．(本小题满分12分)某商品在销售过程中投入的销售时间x与销售额y的统计数据如下表：
销售时间x(月)
1
2
3
4
5
销售额y(万元)
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
用线性回归分析的方法猜想该商品6月份的销售额．
(参考公式：b＝，a＝－b，其中，表示样本平均值)
解：由已知数据可得＝＝3，
＝＝0.5，
所以 (xi－)(yi－)＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，
(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是b＝0.01，a＝－b＝0.47.故＝0.01x＋0.47令x＝6，得＝0.53.
即该商品6月份的销售额约为0.53万元．
17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)依据两角和的正切公式得tan＝＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
由于f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]
＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
18．(本小题满分14分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估量两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
甲厂
乙厂
总计
优质品
非优质品
总计
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估量为＝72%.
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估量为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1 000
K2的观测值k＝
≈7.35>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
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