资源描述
1．(2022·江苏)已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明：由于x＞0，y＞0，
所以1＋x＋y2≥3＞0，
1＋x2＋y≥3＞0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
2．(2022·长春调研二)设函数f(x)＝|x－2a|，a∈R.
(1)若不等式f(x)<1的解集为{x|1<x<3}，求a的值；
(2)若存在x0∈R，使f(x0)＋x0<3，求a的取值范围．
解：(1)|x－2a|<1可化为2a－1<x<2a＋1，
由题意得解得a＝1.
(2)令g(x)＝f(x)＋x＝|x－2a|＋x＝
所以函数g(x)＝f(x)＋x的最小值为2a，
依据题意可得2a<3，即a<，
所以a的取值范围为.
3．(2022·山西忻州联考)已知|2x－3|≤1的解集为.
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|<m，求证：|x|<|a|＋1.
解：(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，解得1≤x≤2，∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.
(2)证明：若|x－a|<1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.
4．(2022·大庆质检二)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋4|.
(1)解不等式：f(x)>0；
(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．
解：(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|>0，当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4>0，解得x<5，故x≤－4；
当－4<x<时，不等式化为1－2x－x－4>0，解得x<－1，故－4<x<－1；
当x≥时，不等式化为2x－1－x－4>0，解得x>5，故x>5.
综上，原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．
(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝
|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9.
∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，
故所求a的取值范围是{a|－8≤a≤10}．
5．(2022·昆明玉溪统考)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且t≥0时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)．
解：(1)由|x－a|≤m得a－m≤x≤a＋m，
所以解得
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
由于f(x)＋t≥f(x＋2t)，
所以|x－2＋2t|－|x－2|≤t.
当t＝0时，不等式恒成立，即x∈R；
当t>0时，不等式等价于
或
或
解得x<2－2t或2－2t≤x≤2－或x∈∅，
即x≤2－.
综上，当t＝0时，原不等式的解集为R；
当t>0时，原不等式的解集为.
6．(2022·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若方程f(x)＝x有三个不同的解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，
f(x)＝|x＋1|－|x|＝
∴当x<－1时，f(x)＝－1<0，不等式f(x) ≥0无解；
当－1≤x＜0时，由f(x)＝2x＋1≥0，解得－≤x<0；
当x≥0时，f(x)＝1>0，此时，f(x)≥0的解集为.
综上，f(x)≥0的解集为.
(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图，
易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点．从而－1<a<0.故a的取值范围为{a|－1<a<0}．
7．(2022·郑州质检二)已知函数f(x)＝|2x－a|＋5x.
(1)求不等式f(x)＞5x＋1的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)由f(x)＞5x＋1化简可得|2x－a|＞1，
即2x－a＞1或2x－a＜－1，
解得x＜或x>，
所以不等式f(x)＞5x＋1的解集为
.
(2)不等式|2x－a|＋5x≤0等价于5x≤2x－a≤－5x，
即化简得
若a＜0，则原不等式的解集为＝{x|x≤－1}，此时，a＝－7；
若a≥0，则原不等式的解集为＝{x|x≤－1}，此时，a＝3.
综上，a＝－7或a＝3.
8．(2022·原创卷一)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)若a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0，
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所求，从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，
∴原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，
∴x≥a－2对x∈都成立，
故－≥a－2，即a≤，
∴a的取值范围为.
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