资源描述
开卷速查(十六) 定积分与微积分基本定理
A级 基础巩固练
1．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1 D.S3＜S2＜S1
解析：S1＝x2dx＝x3＝，
S2＝dx＝lnx＝ln2，
S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)＞e＞，
所以S2＜S1＜S3，故选B项．
答案：B
2．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B．2 C. D.
解析：由题意可知，l的方程为y＝1.
如图，B点坐标为(2,1)，
∴所求面积S＝4－2dx＝4－2＝，故选C项．
答案：C
3．设集合P＝{x|(3t2－10t＋6)dt＝0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( )
A．2个 B.3个
C．7个 D.8个
解析：依题意得(3t2－10t＋6)dt＝(t3－5t2＋6t)＝x3－5x2＋6x＝0，由此解得x＝0或x＝2或x＝3.
又x＞0，因此集合P＝{2,3}，集合P的非空子集的个数是22－1＝3，选B.
答案：B
4．假如1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为( )
A．0.18 J B.0.26 J
C．0.12 J D.0.28 J
解析：由物理学问F＝kx知，1＝0.01k，∴k＝100，则W＝∫100xdx＝50x2＝0.18(J)．
答案：A
5．曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为( )
A．2ln2 B.2－ln2
C．4－ln2 D.4－2ln2
解析：如图，
所求面积为阴影部分面积，其面积为四边形ABDE的面积减去不规章图形ABCE的面积，故S＝
(x－1)dx－dx＝－2lnx＝4－2ln2，选D.
答案：D
6．若y＝(sint＋costsint)dt，则y的最大值是( )
A．1 B.2
C．－ D.0
解析：y＝(sint＋cost·sint)dt＝sintdt＋sin2tdt＝(－cost)＋＝－cosx＋1－cos2x＋＝－(cosx＋1)2＋2，故当cosx＝－1时，ymax＝2.
答案：B
7．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为__________．
解析：(kx＋1)dx＝＝k×4＋2－＝k＋1，
故原不等式等价于2≤k＋1≤4，解得≤k≤2，
故k的取值范围为.
答案：
8．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝2f(x0)，x0＞0，则x0＝__________.
解析：f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝⇒＋2b＝2(ax＋b)解得x0＝.
答案：
9.dx＝__________.
解析：依据定积分的性质dx＝dx＋23x2dx＝×＋2×x3＝4.
答案：4
10．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，
所以抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx
＝
＝－
＝.
又可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，
所以＝∫(x－x2－kx)dx
＝
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝.
于是k＝1－ ＝1－.
B级 力气提升练
11．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图像下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：区域D的面积为16.由定积分的几何意义，D内函数y＝x2图像下方的点构成的区域面积为
2x2dx＝2×x3＝，所以，在D内随机取一点，则该点在E中的概率为，故选C.
答案：C
12．设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝__________.
解析：∵f(1)＝lg1＝0，∴f[f(1)]＝f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3，∴a3＝1，∴a＝1.
答案：1
13．如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l.
(1)求切线l的方程；
(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.
解析：(1)由f(x)＝，∴f′(x)＝.
又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝.
因此切线方程为y－4＝(x－6)，
即x－2y＋2＝0.
(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2,0)．
在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2.
∴点B(－2,0)．
14．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.
(1)求常数a、b的值；
(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．
解析：(1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x.
作出曲线y＝x3－3x的草图如图，
所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－，0)，(0,0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称．
所以所求图形的面积为
＝.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
