1、开卷速查(十六)定积分与微积分基本定理A级基础巩固练1若S1x2dx,S2dx,S3exdx,则S1,S2,S3的大小关系为()AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1D.S3S2S1解析:S1x2dxx3,S2dxlnxln2,S3exdxexe2ee(e1)e,所以S2S1S3,故选B项答案:B2直线l过抛物线C:x24y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.B2C.D.解析:由题意可知,l的方程为y1.如图,B点坐标为(2,1),所求面积S42dx42,故选C项答案:C3设集合Px|(3t210t6)dt0,x0,则集合P的非空子集个数是()A2个B.3个C7个D.
2、8个解析:依题意得(3t210t6)dt(t35t26t)x35x26x0,由此解得x0或x2或x3.又x0,因此集合P2,3,集合P的非空子集的个数是2213,选B.答案:B4假如1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为()A0.18 JB.0.26 JC0.12 JD.0.28 J解析:由物理学问Fkx知,10.01k,k100,则W100xdx50x20.18(J)答案:A5曲线y与直线yx1及x4所围成的封闭图形的面积为()A2ln2B.2ln2C4ln2D.42ln2解析:如图,所求面积为阴影部分面积,其面积为四边形ABDE的面积减去不规章图形ABCE的面积
3、,故S(x1)dxdx2lnx42ln2,选D.答案:D6若y(sintcostsint)dt,则y的最大值是()A1B.2CD.0解析:y(sintcostsint)dtsintdtsin2tdt(cost)cosx1cos2x(cosx1)22,故当cosx1时,ymax2.答案:B7已知2(kx1)dx4,则实数k的取值范围为_解析:(kx1)dxk42k1,故原不等式等价于2k14,解得k2,故k的取值范围为.答案:8设函数f(x)ax2b(a0),若f(x)dx2f(x0),x00,则x0_.解析:f(x)dx(ax2b)dx2b2(axb)解得x0.答案:9.dx_.解析:依据定积
4、分的性质dxdx23x2dx2x34.答案:410如图,直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值解析:抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标x10,x21,所以抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx.又可得抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x10,x21k,所以(xx2kx)dx(1k)3.又知S,所以(1k)3.于是k1 1.B级力气提升练11如图,设D是图中边长为4的正方形区域,E是D内函数yx2图像下方的点构成的区域在D内随机取一点,则该点在E中的概率为()A. B.C. D.解析:区域D的面积为16.由定积分的几何意义,D内函数yx2图像下方的点构成的区
5、域面积为2x2dx2x3,所以,在D内随机取一点,则该点在E中的概率为,故选C.答案:C12设f(x)若ff(1)1,则a_.解析:f(1)lg10,ff(1)f(0)03t2dtt3a3,a31,a1.答案:113如图所示,过点A(6,4)作曲线f(x)的切线l.(1)求切线l的方程;(2)求切线l,x轴及曲线f(x)所围成的封闭图形的面积S.解析:(1)由f(x),f(x).又点A(6,4)为切点,f(6).因此切线方程为y4(x6),即x2y20.(2)令f(x)0,则x2,即点C(2,0)在x2y20中,令y0,则x2.点B(2,0)14设函数f(x)x3ax2bx在点x1处有极值2.(1)求常数a、b的值;(2)求曲线yf(x)与x轴所围成的图形的面积解析:(1)由题意知,f(x)3x22axb,f(1)2,且f(1)0,即解得(2)由(1)可知,f(x)x33x.作出曲线yx33x的草图如图,所求面积为阴影部分的面积,由x33x0得曲线yx33x与x轴的交点坐标是(,0),(0,0)和(,0),而yx33x是R上的奇函数,所以函数图像关于原点成中心对称所以所求图形的面积为.