1、开卷速查(十六)定积分与微积分基本定理A级基础巩固练1若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1D.S3S2S1解析：S1x2dxx3，S2dxlnxln2，S3exdxexe2ee(e1)e，所以S2S1S3，故选B项答案：B2直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.B2C.D.解析：由题意可知，l的方程为y1.如图，B点坐标为(2,1)，所求面积S42dx42，故选C项答案：C3设集合Px|(3t210t6)dt0，x0，则集合P的非空子集个数是()A2个B.3个C7个D.
2、8个解析：依题意得(3t210t6)dt(t35t26t)x35x26x0，由此解得x0或x2或x3.又x0，因此集合P2,3，集合P的非空子集的个数是2213，选B.答案：B4假如1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为()A0.18 JB.0.26 JC0.12 JD.0.28 J解析：由物理学问Fkx知，10.01k，k100，则W100xdx50x20.18(J)答案：A5曲线y与直线yx1及x4所围成的封闭图形的面积为()A2ln2B.2ln2C4ln2D.42ln2解析：如图，所求面积为阴影部分面积，其面积为四边形ABDE的面积减去不规章图形ABCE的面积
3、，故S(x1)dxdx2lnx42ln2，选D.答案：D6若y(sintcostsint)dt，则y的最大值是()A1B.2CD.0解析：y(sintcostsint)dtsintdtsin2tdt(cost)cosx1cos2x(cosx1)22，故当cosx1时，ymax2.答案：B7已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_解析：(kx1)dxk42k1，故原不等式等价于2k14，解得k2，故k的取值范围为.答案：8设函数f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx2f(x0)，x00，则x0_.解析：f(x)dx(ax2b)dx2b2(axb)解得x0.答案：9.dx_.解析：依据定积
4、分的性质dxdx23x2dx2x34.答案：410如图，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解析：抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标x10，x21，所以抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx.又可得抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x10，x21k，所以(xx2kx)dx(1k)3.又知S，所以(1k)3.于是k1 1.B级力气提升练11如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数yx2图像下方的点构成的区域在D内随机取一点，则该点在E中的概率为()A. B.C. D.解析：区域D的面积为16.由定积分的几何意义，D内函数yx2图像下方的点构成的区
5、域面积为2x2dx2x3，所以，在D内随机取一点，则该点在E中的概率为，故选C.答案：C12设f(x)若ff(1)1，则a_.解析：f(1)lg10，ff(1)f(0)03t2dtt3a3，a31，a1.答案：113如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)所围成的封闭图形的面积S.解析：(1)由f(x)，f(x).又点A(6,4)为切点，f(6).因此切线方程为y4(x6)，即x2y20.(2)令f(x)0，则x2，即点C(2,0)在x2y20中，令y0，则x2.点B(2,0)14设函数f(x)x3ax2bx在点x1处有极值2.(1)求常数a、b的值；(2)求曲线yf(x)与x轴所围成的图形的面积解析：(1)由题意知，f(x)3x22axb，f(1)2，且f(1)0，即解得(2)由(1)可知，f(x)x33x.作出曲线yx33x的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x33x0得曲线yx33x与x轴的交点坐标是(，0)，(0,0)和(，0)，而yx33x是R上的奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称所以所求图形的面积为.
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