2022届数学一轮(理科)浙江专用-探究课7-第十章-计数原理、概率.docx

探究课七 计数原理、概率问题中的
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1．(2022·烟台段考)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
(1)求取6件产品中有1件产品是二等品的概率；
(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率．
解　(1)设取6件产品中有一件产品是二等品的概率为P1，由已知条件P1＝＝＝.
(2)设取6件产品中没有产品是二等品的概率为P2，这批产品被用户拒绝购买的概率为P，
则P2＝＝＝，
因此P＝1－P1－P2＝1－－＝.
2．(2022·四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解　(1)由题意，(a，b，c)全部的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为大事A，
则大事A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为大事B，
则大事包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
3．依据世行2021年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位：美元)
A
25%
8 000
B
30%
4 000
C
15%
6 000
D
10%
3 000
E
20%
10 000
(1)推断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
解　(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为
＋
＝6 400.
由于6 400∈[4 085,12 616)，
所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．
(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的全部的基本大事是{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．
设大事“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则大事M包含的基本大事是{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝.
4．一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球．已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.求：
(1)从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；
(2)袋中白球的个数．
解　(1)由题意知，袋中黑球的个数为10×＝4.
记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为大事A，则P(A)＝＝.
(2)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为大事B，设袋中白球的个数为x，则P(B)＝1－P()＝1－＝，得到x＝5.
故袋中共有5个白球．
5．一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．
(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，其次次摸出白球的概率；
(2)假如摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．
解　(1)从袋中依次摸出2个球共有A种结果，第一次摸出黑球，其次次摸出白球有AA种结果，则所求概率：
P1＝＝.
(2)第一次摸出红球的概率为，其次次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为P2＝＋＋＝.
6．(2021·天津卷)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表供应的样本数据估量该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出全部可能的结果；
②设大事B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求大事B发生的概率．
解　(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估量该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则大事B发生的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
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