2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2：第二章-推理与证明-单元同步测试.docx

其次章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若实数a，b满足ba0，且ab1，则下列四个数最大的是()Aa2b2B2abC. Da答案A2下面用“三段论”形式写出的演练推理：由于指数函数yax(a0，且a1)在(0，)上是增函数，y()x是指数函数，所以y()x在(0，)上是增函数该结论明显是错误的，其缘由是()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D以上都可能解析大前提是：指数函数yax(a0，且a1)在(0，)上是增函数，这是错误的答案A3设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，b四个数，有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数则说法中正确的个数有()A0B1 C2D3解析可用反证法推出，不正确，因此正确答案B4下面使用类比推理正确的是()A“若a3b3，则ab”类比推出“若a0b0，则ab”B“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C“(ab)cacbc”类比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”解析由类比出的结果应正确知选C.答案C5在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的过程：cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2中应用了()A分析法B综合法C分析法和综合法综合使用D间接证法答案B6已知f(x)sin(x1)cos(x1)，则f(1)f(2)f(3)f(2011)()A2 B.C D0解析f(x)2sin(x1)cos(x1)2sinx，周期T6，且f(1)f(2)f(6)2(00)0，f(2011)f(63351)f(1)2sin.答案B7用数学归纳法证明11)，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数为()A2k1 B2k1C2k1 D2k解析当nk1时，左边1，所以增加的项数为(2k11)2k12k12k2k.答案D8若数列an是等比数列，则数列anan1()A肯定是等比数列B肯定是等差数列C可能是等比数列也可能是等差数列D肯定不是等比数列解析设等比数列an的公比为q，则anan1an(1q)当q1时，anan1肯定是等比数列；当q1时，anan10，此时为等差数列答案C9假如a，b为非零实数，则不等式成立的充要条件是()Aab且ab0 Ba0Cab，ab0 Da2bab200(ba)ab0ab2a2b0a2bab20，b0，mlg，nlg，则m，n的大小关系是_解析ab00ab2ab()2()2lglg.答案mn14在正三角形中，设它的内切圆的半径为r，简洁求得正三角形的周长C(r)6r，面积S(r)3r2，发觉S(r)C(r)这是平面几何中的一个重要发觉请用类比推理的方法猜想对空间正四周体存在的类似结论为_解析设正四周体的棱长为a，内切球的半径为r，利用等积变形易求得正四周体的高h4r.由棱长a，高h和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a2(4r)22，解得a2r.于是正四周体的表面积S(r)4(2r)2sin6024r2，体积V(r)(2r)2sin604r8r3，所以V(r)24r2S(r)答案V(r)S(r)15观看下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式为_解析分n为奇数、偶数两种状况第n个等式的左边为122232(1)n1n2.当n为偶数时，分组求和(1222)(3242)(n1)2n237(2n1).当n为奇数时，(1222)(3242)(n1)2n2n2n2.综上，第n个等式：122232(1)n1n2n(n1)答案122232(1)n1n2n(n1)16对于平面几何中的命题“假如两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_”答案假如两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知0a1，求证：9.证法1(分析法)0a0，要证9，只需证1a4a9a(1a)，即证13a9a(1a)，即证9a26a10，即证(3a1)20，上式明显成立原命题成立证法2(综合法) (3a1)20，即9a26a10，13a9a(1a)0a1，9，即9，即9.证法3(反证法)假设9，即90，即0，即0，即0，而0a0，(3a1)20，与(3a1)20相冲突，原命题成立18(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处(1) 求证：四边形的内角和等于360.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为360.(2) 已知和都是无理数，试证：也是无理数证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以必是无理数(3) 已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5m20无实根证明：假设方程x22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24)，2m，m24，0，则 a2.证明a0，要证 a2，只需证 2a，只需证( 2)2(a)2，即证a244 a242(a)，即证 (a)，即证a2(a22)，即证a22，即证(a)20，该不等式明显成立 a2.21(12分)如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值解(1)证明：P，Q分别为AE，AB的中点，PQEB，又DCEB.PQDC，而PQ平面ACD，DC平面ACD，PQ平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，Q为AB的中点，且ACBC，CQAB.DC平面ABC，EBDC，EB平面ABC.CQEB，故CQ平面ABE.由(1)知，PQDC，又PQEBDC，四边形CQPD为平行四边形DP平面ABE.故DAP为AD与平面ABE所成角在RtDAP中，AD，DP1，sinDAP.因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.22(12分)已知f(x)(x，a0)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通项公式，并用数学归纳法证明解(1) 把f(1)log162，f(2)1，代入函数表达式得即解得(舍去a0)，f(x)(x1)(2) x11f(1)1，x2(1f(1)(1f(2)(1)，x3(1f(3)(1)，x4(1).(3) 由(2)知，x1，x2，x3，x4，由此可以猜想xn.证明：当n1时，x1，而，猜想成立假设当nk(kN*)时，xn成立，即xk，则nk1时，xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1)1.当nk1时，猜想也成立，依据可知，对一切nN*，猜想xn都成立