1、其次章测试(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若实数a,b满足ba0,且ab1,则下列四个数最大的是()Aa2b2B2abC. Da答案A2下面用“三段论”形式写出的演练推理:由于指数函数yax(a0,且a1)在(0,)上是增函数,y()x是指数函数,所以y()x在(0,)上是增函数该结论明显是错误的,其缘由是()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D以上都可能解析大前提是:指数函数yax(a0,且a1)在(0,)上是增函数,这是错误的答案A3设a,b,c都是非零实数,则关于a,bc,
2、ac,b四个数,有以下说法:四个数可能都是正数;四个数可能都是负数;四个数中既有正数又有负数则说法中正确的个数有()A0B1 C2D3解析可用反证法推出,不正确,因此正确答案B4下面使用类比推理正确的是()A“若a3b3,则ab”类比推出“若a0b0,则ab”B“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C“(ab)cacbc”类比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”解析由类比出的结果应正确知选C.答案C5在证明命题“对于任意角,cos4sin4cos2”的过程:cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2中应用了(
3、)A分析法B综合法C分析法和综合法综合使用D间接证法答案B6已知f(x)sin(x1)cos(x1),则f(1)f(2)f(3)f(2011)()A2 B.C D0解析f(x)2sin(x1)cos(x1)2sinx,周期T6,且f(1)f(2)f(6)2(00)0,f(2011)f(63351)f(1)2sin.答案B7用数学归纳法证明11),由nk(k1)不等式成立,推证nk1时,左边应增加的项数为()A2k1 B2k1C2k1 D2k解析当nk1时,左边1,所以增加的项数为(2k11)2k12k12k2k.答案D8若数列an是等比数列,则数列anan1()A肯定是等比数列B肯定是等差数列
4、C可能是等比数列也可能是等差数列D肯定不是等比数列解析设等比数列an的公比为q,则anan1an(1q)当q1时,anan1肯定是等比数列;当q1时,anan10,此时为等差数列答案C9假如a,b为非零实数,则不等式成立的充要条件是()Aab且ab0 Ba0Cab,ab0 Da2bab200(ba)ab0ab2a2b0a2bab20,b0,mlg,nlg,则m,n的大小关系是_解析ab00ab2ab()2()2lglg.答案mn14在正三角形中,设它的内切圆的半径为r,简洁求得正三角形的周长C(r)6r,面积S(r)3r2,发觉S(r)C(r)这是平面几何中的一个重要发觉请用类比推理的方法猜想
5、对空间正四周体存在的类似结论为_解析设正四周体的棱长为a,内切球的半径为r,利用等积变形易求得正四周体的高h4r.由棱长a,高h和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形,得a2(4r)22,解得a2r.于是正四周体的表面积S(r)4(2r)2sin6024r2,体积V(r)(2r)2sin604r8r3,所以V(r)24r2S(r)答案V(r)S(r)15观看下列等式:1211222312223261222324210照此规律,第n个等式为_解析分n为奇数、偶数两种状况第n个等式的左边为122232(1)n1n2.当n为偶数时,分组求和(1222)(3242)(n1)2n237(2n1).当n为
6、奇数时,(1222)(3242)(n1)2n2n2n2.综上,第n个等式:122232(1)n1n2n(n1)答案122232(1)n1n2n(n1)16对于平面几何中的命题“假如两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“_”答案假如两个二面角的两个半平面分别对应垂直,那么这两个二面角相等或互补三、解答题(本大题共6个小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知0a1,求证:9.证法1(分析法)0a0,要证9,只需证1a4a9a(1a),即证13a9a(1a),即证9a26a10,即证(3a1)20,上式明显成立
7、原命题成立证法2(综合法) (3a1)20,即9a26a10,13a9a(1a)0a1,9,即9,即9.证法3(反证法)假设9,即90,即0,即0,即0,而0a0,(3a1)20,与(3a1)20相冲突,原命题成立18(12分)下列推理是否正确?若不正确,指出错误之处(1) 求证:四边形的内角和等于360.证明:设四边形ABCD是矩形,则它的四个角都是直角,有ABCD90909090360,所以四边形的内角和为360.(2) 已知和都是无理数,试证:也是无理数证明:依题设和都是无理数,而无理数与无理数之和是无理数,所以必是无理数(3) 已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0,用反证法证明:关
8、于x的方程x22x5m20无实根证明:假设方程x22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0,解得2m,而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24),2m,m24,0,则 a2.证明a0,要证 a2,只需证 2a,只需证( 2)2(a)2,即证a244 a242(a),即证 (a),即证a2(a22),即证a22,即证(a)20,该不等式明显成立 a2.21(12分)如图,DC平面ABC,EBDC,ACBCEB2DC2,ACB120,P,Q分别为AE,AB的中点(1)证明:PQ平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值解(1)证明:P,Q分别为AE,AB的中点,
9、PQEB,又DCEB.PQDC,而PQ平面ACD,DC平面ACD,PQ平面ACD.(2)如图,连接CQ,DP,Q为AB的中点,且ACBC,CQAB.DC平面ABC,EBDC,EB平面ABC.CQEB,故CQ平面ABE.由(1)知,PQDC,又PQEBDC,四边形CQPD为平行四边形DP平面ABE.故DAP为AD与平面ABE所成角在RtDAP中,AD,DP1,sinDAP.因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.22(12分)已知f(x)(x,a0),且f(1)log162,f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式;(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n),试求x1,x2,x3,x4;(3)猜想xn的通项公式,并用数学归纳法证明解(1) 把f(1)log162,f(2)1,代入函数表达式得即解得(舍去a0),f(x)(x1)(2) x11f(1)1,x2(1f(1)(1f(2)(1),x3(1f(3)(1),x4(1).(3) 由(2)知,x1,x2,x3,x4,由此可以猜想xn.证明:当n1时,x1,而,猜想成立假设当nk(kN*)时,xn成立,即xk,则nk1时,xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1)1.当nk1时,猜想也成立,依据可知,对一切nN*,猜想xn都成立
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