资源描述
第6课时 简洁的三角恒等变换
能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上连续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义.
问题1:代数式变换与三角变换有什么不同呢?
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换经常先查找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点.
问题2:三角恒等变换的要求是什么?
(1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的要求值.
(2)求值:要留意角的范围,三角函数值的符号之间的联系与影响,较难的问题需要依据三角函数值进一步缩小角的范围.
(3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.
问题3:三角恒等变换有哪些技巧?
(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值代换.
(2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关系式
将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于削减了三角函数名称.
(3)升幂与降幂公式:sin2α= ,cos2α= ,运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,就是升幂.
(4)角的变换:角的变换把已知角与未知角联系起来,使公式顺当运用,解题过程中常见的角的代换有:α=( )-β,α=β-( ),α=12[(α+β)+(α-β)],α+β=( )-α.
问题4:三角应用问题解答的一般步骤是什么?
(1) :审读题意,分清已知与未知,理解数学关系,画出示意图.
(2) :依据已知条件与求解目标,设角建立三角式,选择适当三角函数模型.
(3) :利用三角变换,对所建立的三角函数模型进行分析争辩得到数学结论,即求得数学模型的解.
(4) :检验上述所求的解是否符合实际意义,把数学结论还原为实际问题的解答,从而得出实际问题的解.
1.cosπ5cos25π的值是( ).
A.14 B.12 C.-14 D.1
2.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1-tanα21+tanα2=( ).
A.2 B.12 C.-2 D.-12
3.若sin(π2+θ)=35,则cos 2θ= .
4.已知0<α<π4,0<β<π4,且3sin β=sin(2α+β),4tanα2=1-tan2α2,求α+β的值.
恒等式的证明
已知5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0.
与平面对量的综合运用
已知向量m=(3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4),若m·n=1,求cos(2π3-x)的值.
二倍角、半角公式在解三角形中的运用
在△ABC中,设sin A+sin C=2sin B,A-C=π3,求sin B的值.
求证:sin2x(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)=1+cosxsinx.
已知向量m=(sin x,1),n=(3Acos x,A2cos 2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,5π24]上的值域.
已知角A、B、C为△ABC的三个内角,OM=(sin B+cos B,cos C),ON=(sin C,sin B-cos B),OM·ON=-15.
(1)求tan 2A的值;
(2)求2cos2A2-3sinA-12sin(A+π4)的值.
1.2sin2α1+cos2α·cos2αcos2α等于( ).
A.tan α B.tan 2α C.1 D.12
2.若f(tan x)=sin 2x,则f(-1)的值是( ).
A.-1 B.-sin 2 C.12 D.1
3.已知sin α=12+cos α,且α∈(0,π2),则cos2αsin(α-π4)的值为 .
4.若xacos θ+ybsin θ=1①,且xasin θ-ybcos θ=1②,求证:x2a2+y2b2=2.
(2021年·陕西卷)已知向量a=(cos x,-12),b=(3sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值.
考题变式(我来改编):
答案
第6课时 简洁的三角恒等变换
学问体系梳理
问题3:(2)tan α=sinαcosα (3)1-cos2α2 1+cos2α2 (4)α+β
β-α 2α+β
问题4:(1)分析 (2)建模 (3)求解 (4)检验
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1.A 原式=12sinπ5·2sinπ5cosπ5cos2π5=14sinπ5·2sin2π5cos25π=14sinπ5sin45π=14.
2.C 依题意得sin α=-35,则1-tanα21+tanα2=cosα2-sinα2sinα2+cosα2=(cosα2-sinα2)(sinα2+cosα2)(sinα2+cosα2)2=cosα1+sinα=-451-35=-2.
3.-725 由sin(π2+θ)=35可知,cos θ=35,则cos 2θ=2cos2θ-1=2×(35)2-1=-725.
4.解:由4tanα2=1-tan2α2得tan α=2tanα21-tan2α2=12.由3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],得tan(α+β)=2tan α,
∴tan(α+β)=1.又∵0<α<π4,0<β<π4,
∴0<α+β<π2,∴α+β=π4.
重点难点探究
探究一:【解析】由于5sin α=3sin(α-2β),所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β],
所以5sin(α-β)cos β+5cos(α-β)sin β=3sin(α-β)cos β-3cos(α-β)sin β,
所以2sin(α-β)cos β+8cos(α-β)sin β=0,
即tan(α-β)+4tan β=0.
【小结】证明三角恒等式,一般要考虑三个“统一”:①统一角度,即化为同一个角的三角函数;②统一名称,即化为同一种三角函数;③统一结构形式.
探究二:【解析】(1)∵m·n=3sinx4·cosx4+cos2x4=32sinx2+1+cosx22=sin(x2+π6)+12=1,
∴sin(x2+π6)=12,
∴cos(x+π3)=1-2sin2(x2+π6)=12,
cos(2π3-x)=-cos(x+π3)=-12.
【小结】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
探究三:【解析】∵sin A+sin C=2sin B,即2sin A+C2cos A-C2=4sin B2cos B2,∴sin B2=12cos A-C2=34,∴cos B2=±134,
∴sin B=2sin B2cos B2=2×34×(±1314)=±398.
[问题]sin B=-398吗?
[结论]sin B≠-398,∵B是△ABC的一个内角,∴B∈(0,π),∴sin B>0.
于是,正确解答如下:
∵sin A+sin C=2sin B,即2sin A+C2cos A-C2=4sin B2cos B2,∴sin B2=12cos A-C2=34,而0<B2<π2,
∴cos B2=134,∴sin B=2sin B2cos B2=2×34×134=398.
【小结】在解三角形问题中,不仅要考虑题中角度的范围,还需考虑三角形内角的范围,有时要依据三角函数值的符号和三角形内角的范围将角的范围适当缩小,再确定三角函数值或角度.
思维拓展应用
应用一:由于左边=
2sinxcosx[sinx+(cosx-1)][sinx-(cosx-1)]
=2sinxcosxsin2x-(cosx-1)2=2sinxcosxsin2x-cos2x+2cosx-1
=2sinxcosx-2cos2x+2cosx=sinx1-cosx=sinx(1+cosx)(1-cosx)(1+cosx)
=sinx(1+cosx)sin2x=1+cosxsinx=右边,
所以原等式成立.
应用二:(1)f(x)=m·n
=3Asin xcos x+A2cos 2x
=A(32sin 2x+12cos 2x)
=Asin(2x+π6).
由于A>0,由题意知A=6.
(2)由(1)知f(x)=6sin(2x+π6),
将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位后得到
y=6sin[2(x+π12)+π6]=6sin(2x+π3)的图象;
再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+π3)的图象.
因此g(x)=6sin(4x+π3).
由于x∈[0,5π24],所以4x+π3∈[π3,7π6],
故g(x)在[0,5π24]上的值域为[-3,6].
应用三:(1)∵OM·ON=(sin B+cos B)sin C+cos C(sin B-cos B)=sin(B+C)-cos(B+C)=-15,
∴sin A+cos A=-15,①
两边平方整理得:2sin Acos A=-2425,
∵-2425<0,∴A∈(π2,π),∴sin A-cos A=1-2sinAcosA=75.②
联立①②得:sin A=35,cos A=-45,
∴tan A=-34,∴tan 2A=2tanA1-tan2A=-321-916=-247.
(2)∵tan A=-34,∴2cos2A2-3sinA-12sin(A+π4)=cosA-3sinAcosA+sinA=1-3tanA1+tanA=1-3×(-34)1+(-34)=13.
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1.B 2sin2α1+cos2α·cos2αcos2α=sin2αcos2α=tan 2α.
2.A (法一)由sin 2x=2sinxcosxsin2x+cos2x=2tanx1+tan2x,知f(tan x)=2tanx1+tan2x,∴f(-1)=2×(-1)1+(-1)2=-1.
(法二)f(-1)=f[tan(-π4)]=-sinπ2=-1.
3.-142 由sin α=12+cos α得sin α-cos α=12,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=14,
∴2sin αcos α=34.
∴cos2αsin(α-π4)=cos2α-sin2α22(sinα-cosα)=-2(sin α+cos α),
而(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=74,
又∵0<α<π2,∴sin α+cos α=72,∴原式=-142.
4.解:①×cos θ-②×sin θ得,xa=cos θ+sin θ.③
①×sin θ-②×cos θ得,yb=sin θ-cos θ.④
③2+④2得x2a2+y2b2=2.
全新视角拓展
f(x)=(cos x,-12)·(3sin x,cos 2x)
=3cos xsin x-12cos 2x
=32sin 2x-12cos 2x
=cosπ6sin 2x-sinπ6cos 2x
=sin(2x-π6).
(1)f(x)的最小正周期为T=2πω=2π2=π,
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤π2,∴-π6≤2x-π6≤5π6.
由正弦函数的性质知,
当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)取得最大值1,
当2x-π6=-π6,即x=0时,f(0)=-12,
当2x-π6=56π,即x=π2时,f(π2)=12,
∴f(x)的最小值为-12.
因此,f(x)在[0,π2]上的最大值是1,最小值是-12.
思维导图构建
±1-cosα2 ±1+cosα2 ±1-cosα1+cosα sinα1+cosα
1-cosαsinα
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