2021高中数学北师大版必修四导学案：《简单的三角恒等变换》.docx

第6课时简洁的三角恒等变换能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上连续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义.问题1:代数式变换与三角变换有什么不同呢?代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换经常先查找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点.问题2:三角恒等变换的要求是什么?(1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的要求值.(2)求值:要留意角的范围,三角函数值的符号之间的联系与影响,较难的问题需要依据三角函数值进一步缩小角的范围.(3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.问题3:三角恒等变换有哪些技巧?(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值代换.(2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关系式将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于削减了三角函数名称.(3)升幂与降幂公式:sin2=,cos2=,运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,就是升幂.(4)角的变换:角的变换把已知角与未知角联系起来,使公式顺当运用,解题过程中常见的角的代换有:=()-,=-(),=12(+)+(-),+=()-.问题4:三角应用问题解答的一般步骤是什么?(1):审读题意,分清已知与未知,理解数学关系,画出示意图.(2):依据已知条件与求解目标,设角建立三角式,选择适当三角函数模型.(3):利用三角变换,对所建立的三角函数模型进行分析争辩得到数学结论,即求得数学模型的解.(4):检验上述所求的解是否符合实际意义,把数学结论还原为实际问题的解答,从而得出实际问题的解.1.cos5cos25的值是().A.14B.12C.-14D.12.若cos =-45,是第三象限的角,则1-tan21+tan2=().A.2B.12C.-2D.-123.若sin(2+)=35,则cos 2=.4.已知04,00),函数f(x)=mn的最大值为6.(1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移12个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在0,524上的值域.已知角A、B、C为ABC的三个内角,OM=(sin B+cos B,cos C),ON=(sin C,sin B-cos B),OMON=-15.(1)求tan 2A的值;(2)求2cos2A2-3sinA-12sin(A+4)的值.1.2sin21+cos2cos2cos2等于().A.tan B.tan 2C.1D.122.若f(tan x)=sin 2x,则f(-1)的值是().A.-1B.-sin 2C.12D.13.已知sin =12+cos ,且(0,2),则cos2sin(-4)的值为.4.若xacos +ybsin =1,且xasin -ybcos =1,求证:x2a2+y2b2=2.(2021年陕西卷)已知向量a=(cos x,-12),b=(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.考题变式(我来改编):答案第6课时简洁的三角恒等变换学问体系梳理问题3:(2)tan =sincos(3)1-cos221+cos22(4)+-2+问题4:(1)分析(2)建模(3)求解(4)检验基础学习沟通1.A原式=12sin52sin5cos5cos25=14sin52sin25cos25=14sin5sin45=14.2.C依题意得sin =-35,则1-tan21+tan2=cos2-sin2sin2+cos2=(cos2-sin2)(sin2+cos2)(sin2+cos2)2=cos1+sin=-451-35=-2.3.-725由sin(2+)=35可知,cos =35,则cos 2=2cos2-1=2(35)2-1=-725.4.解:由4tan2=1-tan22得tan =2tan21-tan22=12.由3sin(+)-=sin(+)+,得tan(+)=2tan ,tan(+)=1.又04,04,0+0.于是,正确解答如下:sin A+sin C=2sin B,即2sin A+C2cos A-C2=4sin B2cos B2,sin B2=12cos A-C2=34,而0B20,由题意知A=6.(2)由(1)知f(x)=6sin(2x+6),将函数y=f(x)的图象向左平移12个单位后得到y=6sin2(x+12)+6=6sin(2x+3)的图象;再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+3)的图象.因此g(x)=6sin(4x+3).由于x0,524,所以4x+33,76,故g(x)在0,524上的值域为-3,6.应用三:(1)OMON=(sin B+cos B)sin C+cos C(sin B-cos B)=sin(B+C)-cos(B+C)=-15,sin A+cos A=-15,两边平方整理得:2sin Acos A=-2425,-24250,A(2,),sin A-cos A=1-2sinAcosA=75.联立得:sin A=35,cos A=-45,tan A=-34,tan 2A=2tanA1-tan2A=-321-916=-247.(2)tan A=-34,2cos2A2-3sinA-12sin(A+4)=cosA-3sinAcosA+sinA=1-3tanA1+tanA=1-3(-34)1+(-34)=13.基础智能检测1.B2sin21+cos2cos2cos2=sin2cos2=tan 2.2.A(法一)由sin 2x=2sinxcosxsin2x+cos2x=2tanx1+tan2x,知f(tan x)=2tanx1+tan2x,f(-1)=2(-1)1+(-1)2=-1.(法二)f(-1)=ftan(-4)=-sin2=-1.3.-142由sin =12+cos 得sin -cos =12,(sin -cos )2=1-2sin cos =14,2sin cos =34.cos2sin(-4)=cos2-sin222(sin-cos)=-2(sin +cos ),而(sin +cos )2=1+2sin cos =74,又02,sin +cos =72,原式=-142.4.解:cos -sin 得,xa=cos +sin .sin -cos 得,yb=sin -cos .2+2得x2a2+y2b2=2.全新视角拓展f(x)=(cos x,-12)(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin(2x-6).(1)f(x)的最小正周期为T=2=22=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x2,-62x-656.由正弦函数的性质知,当2x-6=2,即x=3时,f(x)取得最大值1,当2x-6=-6,即x=0时,f(0)=-12,当2x-6=56,即x=2时,f(2)=12,f(x)的最小值为-12.因此,f(x)在0,2上的最大值是1,最小值是-12.思维导图构建1-cos21+cos21-cos1+cossin1+cos1-cossin