云南省玉溪一中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题-Word版含答案.docx

玉溪一中2022－2021学年下学期期末考试
高一数学试题
命题人：刘畅
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知直线l, m，平面，下列命题正确的是（ ）
A．l//, l// B．l//, m//, l, m//
C．l//m, l, m// D．l//, m//, l, m, lm=M//
2、在等差数列{an}中，已知a1+a2=4，a2+a3=8，则a7等于（ ）
A．7 B．10 C．13 D．19
3、假如a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．－＜－ B．ab＜b2 C．－ab＜－a2 D．|a|＜|b|
4、已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．k≥2或k≤ B．≤k≤2 C．k≥ D．k≤2
5、若变量x, y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
6、过点P(1, 3)，且与x轴，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（ ）
A．3x+y－6=0 B．x+3y－10=0 C．3x－y=0 D．x－3y+8=0
7、若某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
8、在△ABC中，a=2bcos C，则这个三角形确定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9、在等比数列{an}中，若a1+a2+…+an=2n－1，则a+a+…+a=（ ）
A．(2n－1)2 B．(4n－1) C．(2n－1) D．4n－1
10、关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1, +∞)，则关于x的不等式(ax+b)(x－3)＞0的解集是（ ）
A．(－1, 3) B．(1, 3) C．(－∞, 1)∪(3, +∞) D．(－∞, －1)∪(3, +∞)
11、方程(x+y－1)=0所表示的曲线是（ ）

A B C D
12、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（ ）

A．32 B．32 C．64 D．64
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13、圆x2+y2+2x =0关于y轴对称的圆的一般方程是 .
14、设△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，且cosA=，cosB=，b=3，则c= .
15、如图所示，正三棱锥S－ABC中，侧棱与底面边长相等，若E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于 .
16、设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=－1，an+1=SnSn+1，则Sn= .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（10分）某直线过直线l1 : x－2y+3=0与直线l2 : 2x+3y－8=0的交点，且点P(0, 4)到该直线的距离为2，求该直线的方程.

18、（12分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°.
（1）求BC的长；
（2）求sin 2C的值.

19、（12分）如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积.

20、（12分）某镇方案建筑一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

21、（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=an（nN*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn .

22、（12分）圆C的半径为3，圆心在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为2.
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

玉溪一中2022—2021学年下学期期末考试
高一数学答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
A
A
B
A
A
A
B
D
D
C
二、填空题
13．x2+y2－2x=0 14． 15．45° 16．－
三、 解答题
17．解：设l1与l2交点为A
x－2y+3=0
由 解得A（1，2）
2x+3y－8=0
若此直线斜率不存在，则方程为x=1
不满足P（0，4）到该直线距离为2.
若此直线斜率存在，设直线方程为y－2=k（x－1）
即kx－y+2－k=0
P（0，4）到此直线距离d=
解得k=0或 直线方程为y=2或4x－3y+2=0
18．解：（1）由余弦定理知，BC2=AB2+AC2－2AB·AC·cosA=4+9－2×2×3×=7.
所以BC=．
（2）由正弦定理知，，所以sinC=·sinA==．
由于AB＜BC，所以C为锐角，则cosC==．
因此sin2C=2sinC·cosC=2×．
19．解：（1）证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B．
由于CA=CB，所以OCAB．
由于AB=AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1AB．
　　由于OCOA1＝O，所以AB平面OA1C．
又A1C平面OA1C，故ABA1C．
　　（2）由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC=OA1=．
又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA12，故OA1OC．
由于OCAB＝O，
所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABC－Ａ1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC＝，
故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·OA1＝3．
20．解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab=800．
所以S=（a－4）（b－2）=ab－4b－2a+8=808－2（a+2b）≤808－4=648．
当且仅当a=2b，即a=40，b=20时等号成立，则S最大值=648．
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．
21．解：（1）由题意得当n≥2时，Sn－1=an－1,
an=Sn－Sn－1=an－an－1，
an=an-1，
a2=3a1,a3=a2，a4=a3……，an=an－1，
以上各式相乘得an=a1=n（n+1），
当n=1时，a1=2也适合上式，
an=n(n+1)(nN*).
（2）由（1）得an=n(n+1)，=，
Tn=…+
=++…+
=.
22、解：（1）设C（x0，y0），则2x0+y0=0(y0＜0)，
又=，得y0=－2，x0=1，则C（1，－2）.
所以圆C的方程为(x－1)2+(y+2)2=9，
即x2+y2－2x+4y－4=0.
（2）设这样的直线l存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A(x1，y1)，B(x2,y2)，
x2+y2－2x+4y－4=0，
则由 得2x2+2(b+1)x+b2+4b－4=0，
y=x+b，
所以x1+x2=－(b+1)，x1x2=.
所以y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2.
由OAOB得x1x2+y1y2=0，
即b2+4b－4－b(b+1)+b2=0，b2+3b－4=0，解得b=1或b=－4.
简洁验证b=1或b=－4，方程2x2+2(b+1)x+b2+4b－4=0有实根.
故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x+1或y=x－4.