资源描述
<p>第四篇 平面对量A
第1讲 平面对量的概念及其线性运算
[最新考纲]
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面对量的概念，理解两个向量相等的含义．
3．理解向量的几何表示．
4．把握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．把握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知 识 梳 理
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量
运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
续表
减法
求a与b的
相反向量
－b的和的
运算叫做
a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与
向量a的积
的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
辨 析 感 悟
1．对共线向量的理解
(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同． (×)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c. (×)
(3)(2021·郑州调研改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝－. (√)
(4)(2021·陕西卷改编)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要条件． (√)
2．对向量线性运算的应用
(5)＋＋＝. (√)
(6)(教材习题改编)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)． (√)
同学用书第69页
[感悟·提升]
1．一个区分 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必需在同始终线上．同样，两个平行向
量与两条平行直线也是不同的，由于两个平行向量可以移到同始终线上．
2．两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是留意零向量的特殊性，如(2).
考点一 平面对量的有关概念
【例1】 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中真命题的序号是________．
解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不肯定相同．
②正确．∵＝，
∴||＝||且∥，
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.
答案 ②③
规律方法 对于向量的概念应留意以下几条：
(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；
(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量肯定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；
(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．
【训练1】 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不肯定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
答案 D
考点二 平面对量的线性运算
例2】 如图，在平行四边形OADB中，设＝a， ＝b，B＝ ， ＝ .试用a，b表示， 及.
解 由题意知，在平行四边形OADB中， ＝B
＝ ＝( －)＝(a－b)＝a－b，
则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
＝ ＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，
＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相像三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
【训练2】 (1) (2021·四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ ，则λ＝________.
(2)(2021·泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么肯定有 ( )．
A.＝2 B.＝2
C.＝2 D.＝2
解析 (1)∵＋＝＝2，∴λ＝2.
(2)∵＋＋＝＝－，
∴＝－2＝2.
答案 (1)2 (2)D
考点三 向量共线定理及其应用
【例3】 (2021·郑州一中月考)设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
审题路线 (1)由向量的加法，得＝＋⇒用a，b表示⇒得到与的关系式⇒由向量共线定理，得与共线⇒再看是否有公共点⇒得到证明的结论．
(2)假设存在实数k⇒利用向量共线定理⇒列出方程⇒依据a，b是两个不共线的向量⇒得出方程组⇒解得k值．
(1)证明 ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)解 假设ka＋b与a＋kb共线，
则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.
规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
同学用书第70页
【训练3】 (2022·西安模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为_____．
解析 由于c与d同向，所以c＝kd(k＞0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.
又由于k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.
答案 1
1．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．
2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探究有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．
方法优化3——精确 把握平面对量的概念和运算
【典例】 (2022·浙江卷)设a，b是两个非零向量．( )．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
[一般解法] (排解法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，明显a⊥b不成立；
选项B，若a⊥b且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，明显，|a＋b|＝|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；
选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，明显，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
综上，A，B，D都不正确，故选C.
[美丽 解法] (数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，
即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos</p><a，b>，
所以cos<a，b>＝－1.又由于<a，b>∈[0，π]，
所以<a，b>＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．
[反思感悟] 部分同学做错的主要缘由是：题中的条件“|a＋b|＝|a|－|b|”在处理过程中误认为“|a＋b|＝|a－b|”，从而得到“a⊥b”这个错误的结论．
【自主体验】
在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝ ( )．
A. B.
C. D.
解析 由＝λ，∴||＝λ||.
又∵||＝|a|cos A＝|a|·＝，
||＝|b－a|，∴λ＝＝.故选C.
答案 C
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )．
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
解析 由图可知＝－.
答案 B
2.
(2022·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )．
A．0 B.
C. D.
解析 由于ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案 D
3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不肯定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
答案 A
4．(2022·开封模拟)下列命题中，正确的是( )．
A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
C．若ka＝0，则k＝0或a＝0
D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b|
解析 对于A，明显不能得知a＝b或a＝－b，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，留意到(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b，明显a·b与零的大小关系不确定，因此选项D不正确．综上所述，选C.
答案 C
5．(2022·兰州质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为( )．
A. B. C. D.
解析
设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝
，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C.
答案 C
二、填空题
6．(2022·湖州月考)给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，肯定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
其中不正确命题的序号是________．
解析 ①中，∵向量与为相反向量，
∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不肯定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不肯定共线，∴该命题错误．
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A，B，C，D四点不肯定在一条直线上，∴该命题错误．
答案 ②④⑤
7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析 由＝3，得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.
答案 －a＋b
8．(2022·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
解析 ∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，
∴存在实数λ，使＝λ.即∴p＝－1.
答案 －1
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
解 ＝(＋)＝a＋b；
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)＝＋＝a＋b.
10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
解 设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需＝λ.
即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.
又∵a与b为不共线的非零向量，
∴有⇒
∴当t＝时，三向量终点在同始终线上．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2021·济南一模)已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，
则点P肯定为三角形ABC的( )．
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB边的中点
解析 设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．
答案 B
2．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若＝x ＋(1－x)，则实数x的取值范围是( )．
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
解析 设＝λ (λ＞1)，则＝＋＝＋λ ＝(1－λ)＋λ ，又＝x ＋(1－x)，所以x ＋(1－x)＝(1－λ)＋λ .所以λ＝1－x＞
1，得x＜0.
答案 A
二、填空题
3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的外形为________．
解析 ＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，∴|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案 直角三角形
三、解答题
4.
在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解 ＝＋＝＋λ
＝＋(＋)＝＋(－)
＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.
又＝＋＝＋m ＝＋(＋)
＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，
∴解得λ＝m＝，∴＝a＋b.
同学用书第70页
第2讲 平面对量基本定理及坐标表示
[最新考纲]
1．了解平面对量的基本定理及其意义．
2．把握平面对量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面对量共线的条件.
知 识 梳 理
1．平面对量基本定理
假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．
2．平面对量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面对量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
辨 析 感 悟
1．对平面对量基本定理的理解
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． (×)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√)
(3)(2021·广东卷改编)已知a是已知的平面对量且a≠0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请推断它们的正误：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c. (√)
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；(√)
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc； (√)
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc. (×)
2．平面对量的坐标运算
(4)(教材习题改编)已知点A(2,1)，B(－1,3)，则＝(－3,2)． (√)
(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝. (×)
(6)(2021·湘潭调研改编)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为－4. (√)
[感悟·提升]
1．向量坐标与点的坐标的区分 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应留意其表示形式的区分，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．
当平面对量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
2．两个防范 一是留意能作为基底的两个向量必需是不共线的，如(1)．二是留意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0，如(5).
考点一 平面对量基本定理的应用
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
解 法一 设＝a，＝b，
则a＝＋＝d＋，①
b＝＋＝c＋.②
将②代入①，得a＝d＋，
∴a＝d－c＝(2d－c)，③
将③代入②，得b＝c＋×(2d－c)＝(2c－d)．
∴＝(2d－c)，＝(2c－d)．
法二 设＝a，＝b.
因M，N分别为CD，BC的中点，
所以＝b，＝a，
因而⇒
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
规律方法 (1)应用平面对量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【训练1】 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若A＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )．
A. B. C. D.
解析 由于＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＋μ＝.
答案 D
考点二 平面对量的坐标运算
【例2】 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M的坐标为(0,20)．
又＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N的坐标为(9,2)，
∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要留意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
【训练2】 (1)已知平面对量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝ ( )．
A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2)
同学用书第72页
(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝ ( )．
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析 (1)a＝，b＝，
故a－b＝(－1,2)．
(2)由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
答案 (1)D (2)B
考点三 平面对量共线的坐标表示
【例3】 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
审题路线 (1)分别求出(a＋kc)与(2b－a)的坐标⇒利用向量平行的充要条件列方程⇒解关于k的方程；(2)设d的坐标⇒依据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到d的坐标．
解 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，
∴解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
规律方法 a∥b的充要条件有两种表达方式：
(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．
【训练3】 (1)(2022·衡水中学一检)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ ( )．
A. B. C．1 D．2
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
解析 (1)由于a＋λb＝(1＋λ，2)，故(a＋λb)∥c⇒4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝，故选A.
(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2 .
设点D的坐标为(x，y)，则
＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，
＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
答案 (1)A (2)(2,4)
1．平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的很多相关问题．
3．在向量的运算中要留意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
思想方法3——方程思想在平面对量线性运算中的应用
【典例】 (2021·北京卷)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
解析 以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得解得
所以＝4.
答案 4
[反思感悟] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．
(2)利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解．
【自主体验】
1．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析 由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋
n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
又e1，e2是平面内一组基向量，
所以则
答案 －
2．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.
解析 a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由题意得(8－2x)·(x＋1)＝·(16＋x)，
整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.
答案 4
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·华东师大附中模拟)如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )．
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
解析 ①中与不共线，可作为基底；②中与为共线向量，不行作为基底；③中与是两个不共线的向量，可作为基底；④中与在同一条直线上，是共线向量，不行作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选C.
答案 C
2．(2022·揭阳二模)已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为( )．
A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14)
解析 设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)．
由＝3a，得解得
答案 D
3.
如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x ＋y ，且＝2 ，则( )．
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析 由题意知＝＋，又＝2 ，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
答案 A
4．(2021·惠州模拟)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，则m＝( )．
A．2 B．－2 C．－3 D．3
解析 a＋b＝(2，m＋1)，由a∥(a＋b)，得(－1)×(m＋1)－2×1＝0，解得m＝－3.
答案 C
5．(2022·许昌模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2P，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )．
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析 ＝3 ＝3(2 －)＝6 －3 ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
答案 B
二、填空题
6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，
依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
7．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
解析 由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.
答案 m≠
8．(2021·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析 ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，
即λ1＋λ2＝.
答案
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
法一 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，
解得k＝λ＝－，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
法二 ∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
10．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1 ＋t2 .
(1)求点M在其次或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．
(1)解 ＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在其次或第三象限时，有
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0，
(2)证明 当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 ，
∴与共线，又它们有公共点A，
∴A，B，M三点共线．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2021·保定模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，
整理得b2＋a2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝，
又0°<c<180°，∴c＝60°. b="" 2.="" m="" .="" d="" a="">0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
解析 ＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线，
∴∥.
∴2(a－1)－(－b－1)＝0，
∴2a＋b＝1.
∴＋＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2 ＝8.
当且仅当＝，即b＝，a＝时取等号．
∴＋的最小值是8.
答案 8
三、解答题
4.
如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
解 以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种状况：
①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC.
设D的坐标为(x，y)，
①若是▱ABCD，则由＝，得
(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，
即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，
∴∴x＝0，y＝－4.
∴D点的坐标为(0，－4)(如题图中所示的D1)．
②若是▱ADBC，由＝，得
(0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)，
即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.
∴D点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D2)．
③若是▱ABDC，则由＝，得
(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，
即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.
∴D点的坐标为(－2,0)(如题图中所示的D3)，
∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0).
同学用书第73页
第3讲 平面对量的数量积
[最新考纲]
1．理解平面对量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面对量的数量积与向量投影的关系．
3．把握数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.
知 识 梳 理
1．平面对量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面对量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3．平面对量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(安排律)．
辨 析 感 悟
1．对平面对量的数量积的生疏
(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量．(×)
(2)(2021·湖北卷改编)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为－.(×)
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(×)
2．对平面对量的数量积的性质、运算律的理解
(4)a·b＝0，则a＝0或b＝0.(×)
(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)
(6)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(×)
[感悟·提升]
三个防范 一是两个向量的数量积</c<180°，∴c＝60°.></a，b></a，b></a，b></a，b>
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