资源描述
2022-2021学年度第一学期
高三级文科数学期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
留意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必需写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必需保持答题卡的洁净和平整.
第一部分选择题(共 50 分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3．若，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．等比数列中，,则等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
5. 在△中，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．若向量，则（ ）
A. B. C. D.
7.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8．已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则该等差数列的公差（ ）
A. B. C. D.
9．已知椭圆：（）的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点. 若△的周长为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 （ ）
A. B. C. D.
其次部分非选择题 (共 100 分)
二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．
11.双曲线的两个焦点为，，一个顶点为，则的方程为
12.曲线在点处的切线方程为
13.若实数，满足，则的最大值为
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、，则
15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，
是圆的切线，切点为，平行于弦，
若，，则
16．（本小题满分12分）设平面对量，，函数
（1）求函数的值域和函数的单调递增区间；
（2）当,且时，求的值.
17. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为公斤，用表示编号为（1,2，……，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：
编号
1
2
3
4
5
体重
60
66
62
60
62
（1）求第6位同学的体重及这6位同学体重的标准差；
（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间中的概率．
18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．
19. （本小题满分14分）设数列前项和为，
满足,.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式.
（3）证明：对一切正整数，有.
20．（本小题满分14分）设抛物线的方程为，为直线：上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为,.
（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并推断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点；
21. （本小题满分14分）已知(为正实数).
（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；
（2）当时，求函数在上的最大值与最小值；
（3）当时，求证：对于大于的任意正整数，都有
班级：_______________姓名：_______________学号：_______________
O•••••••••••••••••••••• 密•••••••••••••••••••••• O•••••••••••••••••••••• 封 •••••••••••••••••••••• O•••••••••••••••••••••• 线••••••••••••••••••••••O
2022-2021学年度第一学期
高三级文科数学期中考试答卷
成果：
留意事项：1、本答卷为其次部分非选择题答题区.考生必需用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效.
2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
题号
一
二
15
16
17
18
19
20
总分
得分
二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置)
11． 12． 13．
14． 15.
三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．（本小题满分12分）
解：
17．（本小题满分12分）
解：
18．（本小题满分14分）
解：
O•••••••••••••••••••••• 密•••••••••••••••••••••• O•••••••••••••••••••••• 封 •••••••••••••••••••••• O•••••••••••••••••••••• 线••••••••••••••••••••••O
19．（本小题满分14分）
解：
20．（本小题满分14分）
解：
21．（本小题满分14分）
解：
2022-2021学年第一学期高三文科数学期中考试答案
1 B 2 B 3A 4 C 5B 6C 7C 8B 9A 10.D
17. （本小题满分12分）
解：（1）由题意得 ，故 …… 2分
6位同学体重的标准差
…… 4分
所以第6位同学的体重，这6位同学体重的标准差…… 5分
（2）从前5位同学中随机地选2位同学的基本大事为，，，，，，，，，，共10种…… 8分
其中恰有1位同学的体重在区间中的基本大事有，，，，共4种…… 10分
所以恰有1位同学的体重在区间中的概率…… 12分
18.（本小题满分14分）
解：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则
∵EF为中位线…………2分
而面，面
面…………4分
（2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点
①…………5分
正方体
，
②…………7分
综合①②，且
，而，
…………………………………………………9分
（3）由（2）可知
即CF为高 ，…………10分
，
∴ 即
∴…………12分
=…………14分
19. （本小题满分14分）
解：（1），
（2）时，
，
数列是首项为，公差为的等差数列
（3）法一：，
时，
法二：
时，
20．（本小题满分14分）
解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
由于到的中点的距离为，
从而过三点的圆的方程为．
易知此圆与直线相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得
，又由于，所以．．．．．．．．．．．．．．．．6分
从而过抛物线上点的切线方程为即
又切线过点，所以得 ① 即．．．．8分
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② ．．．．10分
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法二：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又切线过点，所以得 ① 即．．．．．．．．８分
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② 即．．．．．．．．10分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
21. （本小题满分14分）
解:（1）由已知： ，依题意得：对恒成立.
∴，恒成立
又为正实数 ∴ ，即：
（2）∵ ∴ ， ，
时，，在上单调减，
时，，在上单调增，
，，，
又
所以在上的最大值为与最小值为
（3）∵ ∴ 由（1）知：在上为增函数，
∴ 对任意时，，
∴
∴时，令，即
即时，
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