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课时跟踪训练
1．(2022年长春模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．
(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．
解：(1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝，
于是圆心坐标为.所以p＋q＝＋≤0，
整理得ab－bc＋b2－ac≤0，
即(a＋b)(b－c)≤0，
所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.
所以e2＝≥，即≤e＜1.
(2)当e＝时，a＝b＝c，此时椭圆的方程为＋＝1，设M(x，y)，则－c≤x≤c，
所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.
当c≥时，上式的最小值为c2－，即c2－＝，得c＝2；
当0＜c＜时，上式的最小值为(c)2－c＋c2，即(c)2－c＋c2＝，
解得c＝，不合题意，舍去．
综上所述，椭圆的方程为＋＝1.
2．已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．
解：(1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，依据题意得
＝，化简得x2＝4y.
(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b，
由消去y得，x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则，
且Δ＝16k2＋16b.
以点P为切点的切线的斜率为x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，即y＝x1x－x，
同理过点Q的切线的方程为y＝x2x－x.
设两条切线的交点A(xA，yA)，
∵x1≠x2，解得，即A(2k，－b)，
则2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k2＋16b＝16k2＋32－32k＝16(k－1)2＋16＞0，
∴|PQ|＝|x1－x2|＝4，
又A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝，
∴S△APQ＝|PQ|·d＝4|k2＋b|·＝4(k2＋b)＝4(k2－2k＋2)＝4[(k－1)2＋1]，
∴当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．
3．已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆G右焦点F的直线m：x＝1与椭圆G交于点M(点M在第一象限)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆G相交于B，C两点，请推断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．
解：(1)由题意得c＝1，
由＝可得a＝2，
所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意可得点A(－2,0)，M，
所以由题意可设直线l：y＝x＋n，n≠1.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由，得x2＋nx＋n2－3＝0.
由题意可得Δ＝n2－4(n2－3)＝12－3n2＞0，
即n∈(－2,2)且n≠1.
x1＋x2＝－n，x1x2＝n2－3.
由于kMB＋kMC＝＋＝＋＝1＋＋
＝1＋＝1－＝0，
所以直线MB，MC关于直线m对称．
4．如图，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条相互垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，
(1)求C1、C2的方程；
(2)记△MAB、△MDE的面积分别为S1、S2，若＝，求直线AB的方程．
解：(1)＝，∴a2＝2b2.
又2＝2b，得b＝1.
∴C2：y＝x2－1，C1：＋y2＝1.
(2)设直线MA：y＝k1x－1，MB：y＝k2x－1，
k1k2＝－1，
，解得(舍去)或，
∴A(k1，k－1)，同理可得B(k2，k－1)．
S1＝|MA||MB|＝ ·|k1||k2|.
，解得(舍去)或，
∴D.
同理可得E.
∴S2＝|MD||ME|＝··，
∴＝＝.
若＝，则＝，
解得k＝2或k＝.
∴直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
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