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阶段性检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共有10个小题，每小题5分，共50分)
1.＋－＋，化简后等于( )
A．3 B.
C. D.
解析 ＋－＋＝＋＋＋＝.
答案 B
2．若a＝(1,2)，b＝(－3,1)，则2a－b＝( )
A．(5,3) B．(5,1)
C．(－1,3) D．(－5，－3)
解析 2a－b＝2(1,2)－(－3,1)＝(2,4)－(－3,1)＝(5,3)．
答案 A
3．若平面对量b与a＝(1，－2)的夹角为180°，且|b|＝3，则b等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析 设b＝λa(λ<0)，
∴b＝(λ，－2λ)，又|b|＝3，
∴5λ2＝45，λ＝±3，又λ<0，
∴λ＝－3，故b＝(－3,6)．
答案 A
4．若向量a与b的夹角为60°，a＝(0,1)，|b|＝1，则a·b＝( )
A. B．1
C. D.
解析 a·b＝|a|·|b|·cos60°＝.
答案 A
5．若向量＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．25
C．2 D．5
解析 ∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，
∴|F1＋F2|＝＝5，故选D.
答案 D
6．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )
A.·
B.·
C.·
D.·
解析 由于⊥，故其数量积是0，可排解C；与的夹角是，故其数量积小于零，可排解D；设正六边形的边长是a，则·＝||·||·cos30°＝a2，·＝||·||·cos60°＝a2.
答案 A
7．已知平面对量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ是( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析 由(λa＋b)·a＝0，得λa2＋a·b＝0，即10λ＝－10，得λ＝－1.
答案 A
8．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－ B.
C. D.π
解析 2a＋b＝(2,4)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(0,3)，∴2a＋b与a－b的夹角θ满足cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案 C
9．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( )
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
解析 f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)
＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b
∵a⊥b，∴a·b＝0.
∴f(x)＝(b2－a2)x.
又|a|≠|b|，∴b2－a2≠0.
答案 A
10．设平面上有4个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的外形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 (＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||，故选B.
答案 B
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
解析 a－2b＝(，3)，∵a－2b与c共线，∴＝，∴k＝1.
答案 1
12．向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值和最小值分别是________．
解析 当a与b共线且方向相同时，|a＋b|最大，最大值为20；当a与b方向相反时，|a＋b|最小，最小值为4.
答案 20 4
13．已知a与b为不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
解析 由题意得(a＋b)·(ka－b)＝0，即k－1＋(k－1)a·b＝0，即(k－1)(1＋a·b)＝0，得k＝1.
答案 1
14．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝__________.
解析 以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
则由A(0,0)，B(2,0)，E(2，)，D(1，)，可得·＝1.
答案 1
15．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________．
解析 ＝(＋)
＝＋，
＝－＝＋，
＝－.
∵M，O，N三点共线，∴＝－，
∴m＋n＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共6道题，共75分)
16．(12分)已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ取何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时它们同向还是反向？
解 ∵λa－b＝(2λ－3，λ＋4)，a＋2b＝(8，－7)，
若λa－b与a＋2b平行，则存在实数k(k∈R)使λa－b＝k(a＋2b)，即(2λ－3，λ＋4)＝(8k，－7k)，
∴得
∴当λ＝－时，λa－b与a＋2b平行且反向．
17.
(12分)如图ABCD为梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，E为AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，.
解 ∵ABCD为梯形，AB＝2DC，AB∥DC.
又E为AB的中点，
∴EBCD为平行四边形．
∴＝＝＝a.
∴＝＝－＝－＝b－a.
18．(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
求：(1)a·b，|a＋b|；
(2)a和b的夹角的余弦值．
解 (1)∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
∴a＝3e1－2e2＝(3，－2)，b＝4e1＋e2＝(4,1)，
∴a·b＝3×4＋(－2)×1＝10，
a＋b＝(7，－1)∴|a＋b|＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
cosθ＝＝＝.
19．(13分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
解 (1)由题设可知，＝(－3，－1)，＝(－m－1，－m)，
∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，即
解得
∴当A，B，C三点共线时，m＝.
(2)∵∠ABC为锐角，
∴·＝(－3)×(－m－1)＋(－1)×(－m)＝4m＋3>0，
即m>－.
且A，B，C不共线，∴m≠，
综上，m的取值范围是∪.
20．(13分)已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1.
(1)求向量n；
(2)设向量a＝(1,0)，向量b＝(cosx，sinx)，其中x∈R，若n·a＝0，试求|n＋b|的取值范围．
解 (1)令n＝(x，y)，
则
∴或
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
(2)∵a＝(1,0)，n·a＝0.
∴n＝(0，－1)．
∴n＋b＝(cosx，sinx－1)．
∴|n＋b|＝＝＝.
∵－1≤sinx≤1，
∴0≤|n＋b|≤2.
∴|n＋b|的取值范围是[0,2]．
21．(13分)在▱ABCD中，A(1,1)，＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
(1)若＝(3,5)，求点C的坐标；
(2)当||＝||时，求点P的轨迹．
解 (1)设点C的坐标为(x0，y0)，
又＝＋＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x0－1，y0－1)＝(9,5)，
∴x0＝10，y0＝6，
即点C(10,6)．
(2)由三角形相像，不难得出＝2，
设P(x，y)，则＝－
＝(x－1，y－1)－(6,0)＝(x－7，y－1)．
＝＋＝＋3＝＋3＝3－＝(3(x－1)，3(y－1))－(6,0)＝(3x－9,3y－3)，∵||＝||，
∴ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴⊥，
即(x－7，y－1)·(3x－9,3y－3)＝0，
即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0，∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)．
∴(x－5)2＋(y－1)2＝4(y≠1)．
故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y＝1的两个交点．
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