2020-2021学年人教A版高中数学必修4：第二章-平面向量-单元同步测试.docx

其次章测试 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1有下列四个表达式：|ab|a|b|；|ab|(|a|b|)；a2|a|2；|ab|a|b|.其中正确的个数为()A0 B2C3 D4解析对于仅当a与b同向时成立对于左边|ab|0，而右边可能0，不成立对于a2|a|2，a2|a|2不成立对于当ab时不成立，综上知，四个式子都是错误的答案A2下列命题中，正确的是()Aa(2,5)与b(4，10)方向相同Ba(4,10)与b(2，5)方向相反Ca(3,1)与b(2，5)方向相反Da(2,4)与b(3,1)的夹角为锐角解析在B中，a(4,10)2(2，5)2b，a与b方向相反答案B3已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|()A. B.C. D4解析|a3b|2(a3b)2a29b26ab196|a|b|cos6013，|a3b|.答案C4已知向量a，b(x1,2)，其中x0，若ab，则x的值为()A8 B4C2 D0解析ab，(8x)2x(x1)0，即x216，又x0，x4.答案B5在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于()A. B.C D解析M为BC的中点，得2，()2.又2，|.2|2.答案A6若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5C4 D3解析8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，c(3，x)，(8ab)c(6,3)(3，x)183x.又(8ab)c30，183x30，x4.答案C7向量a(1,1)，且a与a2b方向相同，则ab的取值范围是()A(1,1) B(1，)C(1，) D(，1)解析依题意可设a2ba(0)，则b(1)a，ab(1)a2(1)211.答案B8设单位向量e1，e2的夹角为60，则向量3e14e2与向量e1的夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析(3e14e2)e13e4e1e2312411cos605，|3e14e2|29e16e24e1e291216122411cos6037.|3e14e2|.设3e14e2与e1的夹角为，则cos.答案D9在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析如图所示，由题意知，DE：BEDF：BA1：3.ab(ab)ab.答案B10已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(3,1)，B点坐标为，则C点坐标为()A(1，3) B.C(4,2) D(2,4)解析设C(x，y)，则由，得，C(4,2)答案C11已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b夹角的取值范围是()A. B.C. D.解析设a与b的夹角为，|a|24ab0，ab，cos.0，.答案B12在ABC所在平面内有一点P，假如，则PAB与ABC的面积之比是()A. B.C. D.解析由于，所以20，22，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)所以PAB与ABC的面积之比是.答案A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分将答案填在题中横线上)13已知a(2cos，2sin)，b(3，)，且a与b共线，0,2)，则_.解析由ab，得2cos6sin，cos0，tan，又0,2)，或.答案或14假设|a|2，b(1,3)，若ab，则a_.解析设a(x，y)，则有x2y220.又ab，ab0，x3y0.由解得x3，y，或x3，y，a(3，)，或a(3，)答案(3，)或(3，)15在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2，那么c_.解析由题知2，即()22c|.答案16关于平面对量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc；若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出全部真命题的序号)解析当a0时，不成立；对于，若ab，则2k6，k3，成立；对于，由于|a|b|ab|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图BAD60，ab，由菱形的性质可知，a与ab的夹角为BAC30.答案三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知|a|3，|b|2，a与b的夹角为60，c3a5b，dma3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？解(1)令cd0，则(3a5b)(ma3b)0，即3m|a|215|b|2(5m9)ab0，解得m.故当m时，cd.(2)令cd，则3a5b(ma3b)即(3m)a(53)b0，a，b不共线，解得故当m时，c与d共线18(12分)如图所示，在ABC中，C为直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE2EB，求证：ADCE.证明设此等腰直角三角形的直角边长为a，则()()a20aaaa2a2a20，ADCE.19(12分)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标解设D点坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0.6(x2)3(y1)0.由可得| ，即|，D(1,1)20(12分)在直角坐标系中，已知(4，4)，(5,1)，在方向上的射影数量为|，求的坐标解设点M的坐标为M(x，y)在方向上的射影数量为|，0.又(x，y)，(5x,1y)，x(5x)y(1y)0.又点O，M，A三点共线，.解得(52,12)(3,3)21(12分)如图，在平面斜坐标系xOy中xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若xe1ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)(1)若点P的斜坐标为(2，2)，求点P到O的距离|OP|；(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程解(1)由于点P的斜坐标为(2，2)，故2e12e2，|2(2e12e2)288e1e288cos604，|2，即|OP|2.(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则xe1ye2，又|1.故(xe1ye2)21.x2y22xye1e21.即x2y2xy1.故所求方程为x2y2xy10.22(12分)如图，在四边形ABCD中，(R)，|2，|2，且BCD是以BC为斜边的直角三角形(1)求的值；(2)求的值解(1)由于，所以BCAD，且|.由于|2，所以|2.又|2，所以|2.作AHBD交BD于H，则H为BD的中点在RtAHB中，有cosABH，于是ABH30，所以ADBDBC30.而BDC90，所以BDBCcos30，即22，解得2.(2)由(1)知，ABC60，|4，所以与的夹角为120，故|cos1204.