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学案6 电势差
[学习目标定位] 1.理解电势差的概念及正、负值的含义.2.会用UAB＝φA－φB及UAB＝WAB/q进行有关计算．
一、电势差
1．用不同的位置作为测量高度的起点，同一地方的高度的数值就不相同，但两个地方的高度差却保持不变．同样的道理，选择不同的位置作为电势零点，电场中某点电势的数值也会转变，但电场中某两点间的电势的差值却保持不变．
2．电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压．电势差的计算公式UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA.
二、静电力做功与电势差的关系
电荷q在电场中从A点移动到B点，A、B两点间的电势差为UAB，则静电力做功WAB＝qUAB或UAB＝WAB/q.
一、电势差
[问题设计]
如图1所示，A、B、C为同一电场线上的三点，取B点电势为零时，A、C两点的电势分别为8 V和－6 V．A、C两点间的电势差UAC是多少？C、A两点间的电势差UCA是多少？
图1
答案 UAC＝φA－φC＝14 V UCA＝φC－φA＝－14 V
[要点提炼]
1．电场中两点间电势差的计算公式：UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA.
2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的凹凸．UAB＞0，表示A点电势比B点电势高．
[延长思考]
1．上面的问题中，若取C点电势为零，A、C两点间的电势差UAC是多少？C、A两点间的电势差UCA是多少？A、B两点的电势分别是多少？
答案 UAC＝φA－φC＝14 V UCA＝φC－φA＝－14 V φA＝14 V φB＝6 V
2．选取不同的零电势参考面，电场中某点的电势、两点之间的电势差也会随之转变吗？
答案 电场中某点的电势会转变，电势与零势面的选取有关．两点间的电势差不会转变，电势差与零电势面的选取无关．
二、静电力做功与电势差的关系
[问题设计]
电荷量为q的电荷沿如图2所示的曲线由电场中的A点运动到B点，已知A、B两点的电势分别为φA、φB，则：
图2
(1)电荷在A、B两点具有的电势能分别为多少？此过程静电力做功WAB为多少？
(2)由上述问题是否可以得出静电力做功与电势差的关系？
答案 (1)EpA＝qφA EpB＝qφB WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)
(2)UAB＝φA－φB＝
[要点提炼]
1．静电力做功与电势差的关系：WAB＝qUAB或UAB＝.
2．公式WAB＝qUAB或UAB＝中各物理量符号的处理方法：
(1)带正、负号进行运算：把电荷q的电性和两点间的电势差U的正负代入；功为正，则说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，则说明静电力做负功，电荷的电势能增大．
(2)只将确定值代入公式运算：即在计算时，q、U都取确定值，算出的功也是确定值，至于静电力做的是正功还是负功，可以依据电荷的正、负及电荷移动的方向与电场线方向的关系进行推断．
(3)用关系式WAB＝qUAB进行相关计算时要留意W与U的角标要对应，不要造成混乱，由于UAB＝－UBA，WAB＝－WBA.
一、对电势和电势差的理解
例1 下列说法正确的是( )
A．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
B．电势差是一个标量，但有正、负之分
C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势面的不同而转变，所以UAB＝UBA
解析 电势具有相对性，与零电势点的选择有关．而电势差是标量，有正、负之分，但大小与零电势点的选择无关．故A错误，B正确；由于UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，故D错误；电势差为电场中两点电势之差，与移动电荷的路径无关，故C正确．
答案 BC
例2 在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势凹凸关系为( )
A．φA＞φB＞φC B．φA＜φC＜φB
C．φC＞φA＞φB D．φC＞φB＞φA
解析 UAB＝75 V，φA－φB＝75 V，φA＝φB＋75 V；UBC＝－200 V，φB－φC＝－200 V，φC＝φB＋200 V；φC＞φA＞φB.
答案 C
二、电场力做功与电势能、电势差的关系
例3 有一个带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，电荷克服静电力做6×10－4 J的功，从B点移到C点，静电力对电荷做9×10－4 J的功，问：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
解析 (1)解法一：先求电势差的确定值，再推断正、负．
|UAB|＝＝ V＝200 V，
因负电荷从A移到B克服静电力做功，必是从高电势点移到低电势点，即φA＞φB，UAB＝200 V.
|UBC|＝＝ V＝300 V，
因负电荷从B移到C静电力做正功，必是从低电势点移到高电势点，即φB＜φC，UBC＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
解法二：直接取代数值求．
电荷由A移向B克服静电力做功即静电力做负功，
WAB＝－6×10－4 J，
UAB＝＝ V＝200 V.
UBC＝＝ V＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200 V.
由UBC＝φB－φC，得φC＝φB－UBC＝0－(－300) V＝300 V.
电荷在A点的电势能
EpA＝qφA＝－3×10－6×200 J＝－6×10－4 J.
电荷在C点的电势能
EpC＝qφC＝－3×10－6×300 J＝－9×10－4 J.
答案 见解析
针对训练
电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10－8 J，在B点的电势能为8.0×10－9 J．已知A、B两点在同一条电场线上，如图3所示，该点电荷的电荷量为1.0×10－9 C，那么( )
图3
A．该电荷为负电荷
B．该电荷为正电荷
C．A、B两点的电势差UAB＝4.0 V
D．把电荷从A移到B，电场力做功为W＝4.0 J
答案 A
解析 点电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，从A到B电场力做正功，所以该电荷确定为负电荷，且WAB＝EpA－EpB＝1.2×10－8 J－8.0×10－9 J＝4.0×10－9 J，故A项正确，B、D项错误；UAB＝＝ V＝－4.0 V，所以C选项错误．答案为A.
1．电势差的定义：UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA.两点间电势差与零电势点的选取无关．
2．电势差与静电力做功的关系：WAB＝qUAB.
1．(电势和电势差)如图4所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10 V、6 V和－2 V，则UAB＝________，UBC＝________，UCA＝________.
图4
答案 0 12 V －12 V
解析 由电势差的定义可知：因A、B两点在同一个等势面上，
故有φA＝φB＝10 V，φC＝－2 V，
所以UAB＝φA－φB＝(10－10)V＝0.
B、C间的电势差为
UBC＝φB－φC＝[10－(－2)] V＝12 V.
C、A间的电势差为
UCA＝φC－φB＝(－2－10) V＝－12 V.
2．(对电场力做功与电势差关系的生疏)关于对UAB＝WAB/q和WAB＝qUAB的理解，正确的是( )
A．电场中A、B两点的电势差和两点间移动电荷的电荷量q成反比
B．在电场中A、B两点移动不同的电荷，电场力的功WAB和电荷量q成正比
C．UAB与q、WAB无关，与是否移动电荷也没有关系
D．WAB与q、UAB无关，与电荷移动的路径无关
答案 BC
3．(电场力做功与电势差)如图5所示，a、b、c表示点电荷电场中的三个等势面，它们的电势分别为φ、φ和φ(φ>0)，该点电荷的电性为________．一带电粒子从等势面a上某处由静止释放，仅受到电场力作用而运动，已知带电粒子经过等势面b时的速率为v，它经过等势面c时的速率为________．
图5
答案 正 v
解析 沿着电场线的方向电势降低，由题中关系可知场源电荷为正电荷；由动能定理得q(φa－φb)＝mv2 ①
q(φa－φc)＝mv ②
由①②得：vc＝v
4．(公式UAB＝的应用)带电荷量为q＝＋5.0×10－8 C的点电荷从A点移到B点时，克服静电力做功 3.0×10－6 J．已知B点的电势为φB＝20 V．求：
(1)A、B间的电势差；
(2)A点的电势；
(3)q从A到B的电势能变化．
答案 (1)－60 V (2)－40 V
(3)电势能增加3.0×10－6 J
解析 (1)从A到B静电力做的功为：
WAB＝－3.0×10－6 J
A、B两点间的电势差
UAB＝＝ V＝－60 V，
B点电势高于A点电势．
(2)依据UAB＝φA－φB得A点的电势为：
φA＝UAB＋φB＝(－60 V)＋20 V＝－40 V.
(3)q从A到B克服静电力做功，
电势能确定增加ΔEp＝|WAB|＝3.0×10－6 J.
题组一 对电势和电势差的理解
1．关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A．UAB表示B点与A点之间的电势差，即UAB＝φB－φA
B．UAB和UBA是不同的，它们有关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
D．零电势点的规定虽然是任意的，但人们经常规定大地和无穷远处为零电势点
答案 BD
2．下列关于电场的描述，正确的是( )
A．电场中某点电势的大小、正负与零电势点的选取有关
B．电场中某两点间的电势差与零电势点的选取有关
C．同一点电荷处于电场中的不同位置时，具有的电势能越大，说明那一点的电势越高
D．同一点电荷在电场中任意两点间移动时，只要静电力做的功相同，那么两点间的电势差确定相同
答案 AD
解析 电场中某两点间的电势差与零电势点的选取无关；对负电荷而言，它在电场中具有的电势能越大，说明该点电势越低，故B、C错，A、D对．
3.如图1所示，a、b、c是氢原子的核外电子绕核运动的三个可能轨道，取无穷远电子的电势能为零，电子在a、b、c三个轨道时对应的电势能分别为－13.6 eV，－3.4 eV，－1.51 eV，由于某种因素(如加热或光照)的影响，电子会沿椭圆轨道跃迁到离核更远的轨道上运动，则：
图1
(1)φa＝________，φb＝________，φc＝________.
(2)Uab＝________，Ubc＝________.
答案 (1)13.6 V 3.4 V 1.51 V
(2)10.2 V 1.89 V
解析 (1)电子的带电荷量q＝－e，
据电势的定义φ＝得，
φa＝＝＝13.6 V，
同理φb＝3.4 V，
φc＝1.51 V.
(2)Uab＝φa－φb＝(13.6－3.4) V＝10.2 V
Ubc＝φb－φc＝1.89 V.
题组二 电场力做功与电势能、电势差的关系
4．对于电场中A、B两点，下列说法正确的是( )
A．电势差的定义式UAB＝WAB/q，说明两点间的电势差UAB与静电力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．A、B两点间的电势差等于将电荷从A点移到B点静电力所做的功
C．将1 C电荷从A点移到B点，静电力做1 J的功，这两点间的电势差为1 V
D．电荷由A点移到B点的过程中，除受静电力外，若还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于静电力所做的功
答案 C
解析 依据电势差的定义，电场中两点间的电势差在数值上等于将单位正电荷从一点移到另一点静电力所做的功，仅由电场及两点位置打算，与移动电荷的电荷量及做功的多少无关，即UAB＝是比值定义式，所以A、 B错，C对．电势能的变化唯一打算于静电力做的功，与其他力是否做功、做多少功无关，D错．
5．在静电场中，一个电子由a点移到b点时静电力做功为5 eV(1 eV＝1.6×10－19 J)，则以下说法中正确的是( )
A．电场强度的方向确定由b沿直线指向a
B．a、b两点间电势差Uab＝5 V
C．电子的电势能削减5 eV
D．电子的电势能削减5 J
答案 C
解析 电场强度的方向与运动路径无关，A错；Uab＝＝＝－5 V，B错；静电力做5 eV的正功，电势能削减5 eV，C对，D错．
6．空间存在匀强电场，有一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子从O点以速率v0射入电场，运动到A点时速率为2v0.现有另一电荷量为－q、质量为m的粒子以速率2v0仍从O点射入该电场，运动到B点时速率为3v0.若忽视重力的影响，则( )
A．在O、A、B三点中，B点电势最高
B．在O、A、B三点中， A点电势最高
C．O、A间的电势差比B、O间的电势差大
D．O、A间的电势差比B、A间的电势差小
答案 AD
7．一电子飞经电场中A、B两点，电子在A点时电势能为4.8×10－17 J，动能为3.2×10－17 J，电子经过B点时电势能为3.2×10－17 J，假如电子只受静电力作用，则( )
A．电子在B点时动能为4.8×10－17 J
B．由A点到B点静电力做功为100 eV
C．电子在B点时动能为1.6×10－17 J
D．A、B两点间的电势差为100 V
答案 AB
8．如图2所示为一个正点电荷电场的电场线(实线)和等势线(虚线)，两相邻等势线间的电势差为4 V，有一个带电荷量为q＝1.0×10－8 C的负电荷从A点沿不规章曲线移到B点，静电力做功为________ J.
图2
答案 －4.0×10－8
解析 WAB＝qUAB＝－1.0×10－8×4 J＝－4.0×10－8 J.
9.如图3所示，电场中某一电场线为始终线，线上有A、B、C三个点，电荷q1＝10－8 C，从B点移到A点时静电力做了10－7 J的功；电荷q2＝－10－8 C，在B点的电势能比在C点时大10－7 J，那么：
图3
(1)比较A、B、C三点的电势凹凸，由高到低的排序是______________；
(2)A、C两点间的电势差是________ V；
(3)若设B点的电势为零，电荷q2在A点的电势能是____________ J.
答案 (1)φC＞φB＞φA (2)－20 (3)10－7
题组三 综合应用
10.如图4所示，在a点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设ab所在的电场线竖直向下，a、b间的高度差为h，则( )
图4
A．带电粒子带负电
B．a、b两点间的电势差Uab＝
C．b点场强大于a点场强
D．a点场强大于b点场强
答案 ABC
解析 带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而粒子运动到b点时动能没有增大，说明静电力做负功．依据动能定理有：mgh－qUab＝0，解得a、b两点间电势差为Uab＝.由于a点电势高于b点电势，Uab>0，所以粒子带负电，选项A、B正确．带电粒子由a运动到b过程中，在重力和静电力的共同作用下，先加速运动后减速运动．由于重力为恒力，所以静电力为变力，且静电力越来越大，由此可见b点场强大于a点场强，选项C正确，D错误．
11.如图5所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，将电荷量q＝1.2×10－6 C的电荷在该电场中移动．
图5
(1)把这个电荷从C移到D，静电力做功多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
答案 见解析
解析 (1)UCD＝φC－φD＝30 V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J
＝3.6×10－5 J
(2)UDA＝φD－φA＝(－30－10) V＝－40 V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J
＝－4.8×10－5 J
所以电势能应当增加4.8×10－5 J.
12．已知将电荷量为2.0×10－7 C的正点电荷从电场中的M点移到N点时，静电力做功为5.0×10－5 J，将此点电荷从N点移到无限远处时，静电力做功为1.5×10－5 J，则M点的电势为多大？N点的电势为多大？
答案 325 V 75 V
解析 UMN＝＝ V＝250 V，
φN＝＝ V＝75 V，
由UMN＝φM－φN＝250 V
得φM＝325 V.
13.如图6所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为.求小球由A到B的过程中静电力做的功及A、B两点间的电势差．
图6
答案 mgh －
解析 由于Q是正点电荷，所以以Q为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件，由A到B过程中静电力是变力，所以不能直接用W＝Fx来解，只能考虑应用功能关系求解．
由于杆是光滑的，
所以小球从A到B过程中只有两个力做功：
静电力做功W和重力做功mgh，
由动能定理得：
W＋mgh＝mv
代入已知条件vB＝
得静电力做功
W＝m·3gh－mgh＝mgh
U＝＝
由于φA＜φB，
所以UAB＝－
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