2021高考数学(文)一轮知能检测：第4章-第3节-平面向量的数量积及平面向量的应用.docx

第三节　平面对量的数量积及平面对量的应用

[全盘巩固]
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于(　　)
A．2 B．2 C．4 D．12
解析：选B　|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2.
2．(2022·金华模拟)平面对量a与b的夹角为60°，且a＝(2,0)，|b|＝1，则|a－b|＝(　　)
A. B. C．3 D．4
解析：选C　|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos 60°＝4＋1－2×2×1×＝3.
3．(2021·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)
A. B．2 C．5 D．10
解析：选C　依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.
4. 如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝(　　)

A．2 B. C．－ D.
解析：选D　建系如图．

设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB,1)，
∵＝ ，∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0，1)，·＝.
5．已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是(　　)
A．[0,1] B．[－1,1]
C．[－，] D．[0，]
解析：选C　由a、b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，所以(a－b)·c＝|a－b||c|cos θ∈[－，]．
6．(2022·福州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ) ，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)·(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.
7．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．
解析：∵A，B，C为单位圆上三点，
∴||＝||＝||＝1，
又＋＋＝0，
∴＝＋，
∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得
cos〈，〉＝－，
∴向量，的夹角为120°.
答案：120°
8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P, 且AP＝3，则·＝________.

解析：设∠PAC＝θ，则·＝·2＝2|||·cos θ＝2||2＝2×32＝18.
答案：18
9．(2021·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
解析：当x＝0时，＝0，当x≠0时，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取到最大值．
答案：2
10．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.
∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.
∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，
∴解得λ＝0.
即当λ＝0时，a与a＋λb共线，
综上可知，实数λ的取值范围为∪(0，＋∞)．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为2，4.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
12．在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三条边，<C<且＝.
(1)推断△ABC的外形；
(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．
解：(1)由＝及正弦定理有：sin B＝sin 2C，∴B＝2C或B＋2C＝π.
若B＝2C，且<C<，
∴π<B<π，B＋C>π(舍)．
∴B＋2C＝π，则A＝C，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cos B＝4，
∵a＝c，∴cos B＝，
而cos B＝－cos 2C，∴<cos B<1，∴1<a2<，
∴·＝2－a2，故·∈.
[冲击名校]
1．(2021·浙江高考)设△ABC，P0是边AB上确定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(　　)
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
解析：选D　设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，∴＝(2－x,0)，＝(a－x，b)．∴＝(1,0)，＝(a－1，b)．
则·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，
即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．
∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.
即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.
2．对任意两个非零的平面对量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面对量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)
A. B. C．1 D.
解析：选D　由题设定义得a∘b＝＝＝cos θ，b∘a＝＝＝cos θ.又a∘b和b∘a都在集合中且θ∈，设a∘b＝，b∘a＝(n1，n2∈N)，那么(a∘b)(b∘a)＝cos2θ＝，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均为1，故a∘b＝＝.
[高频滚动]
1．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行；②＋＝；③＋＝；④＝－2.
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C　∵由题意得kOC＝＝－，kBA＝＝－，∴OC∥BA，①正确；∵＋＝，∴②错误；
∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正确．
2．在△ABC中，＝a，＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN，AM交于点P，则＝____________(用a，b表示)．
解析：

如图所示，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋
＋＝－＋＝－a＋b.
答案：－a＋b