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3.3.2 两点间的距离
【课时目标】 1．理解并把握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能娴熟应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．
1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为
|P1P2|＝________________．
特殊地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝________．
2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：
第一步：________________________________________________．
其次步：________________________．
第三步：____________________________________．
一、选择题
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．无法确定
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
5．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C． D．
6．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
二、填空题
7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
9．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
三、解答题
10．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
力气提升
12．求函数y＝＋的最小值．
13．求证：＋＋＋≥2．
1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以依据条件求其中一个点的坐标．
2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依靠于平面直角坐标系的建立而转变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必需“避繁就简”．
3．3．2 两点间的距离 答案
学问梳理
1．
2．建立坐标系，用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算结果“翻译”成几何关系
作业设计
1．A [由＝5，解得b＝0或8．]
2．B
3．C [设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，
解得a＝4，b＝－2，
∴|AB|＝2．]
4．B [设到A、B距离相等的点P(x，y)，
则由|PA|＝|PB|得，
4x－2y＝5．]
5．B
[(如图)A关于x轴对称点为
A′(－3，－8)，
则A′B与x轴的交点即为M，
求得M坐标为(1,0)．]
6．A [由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．]
7．
解析 由题意知解得
∴d＝＝．
8．(2,10)或(－10,10)
解析 设M(x，y)，则|y|＝＝10．
解得或．
9．2
解析 |BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2．在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|＝＝2．
10．解 由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5．
当x0＝1时，AB方程为x＝1，
当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0．
综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0．
11．证明
如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则|AB|＝c，
又由中点坐标公式，
可得D，E，
所以|DE|＝－＝，
所以|DE|＝|AB|．
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
12．解
原式可化为
y＝
＋．
考虑两点间的距离公式，如图所示，
令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，
则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，
使得|PA|＋|PB|最小．
作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，
由图可直观得出
|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．
由两点间的距离公式可得|A′B|＝＝5，
所以函数y＝＋的最小值为5．
13．
证明 如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，
∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝，|AB|＋|AD|≥|BD|＝，
∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥2(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．
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