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习题课 直线的位置关系与距离公式
【课时目标】 娴熟把握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能机敏应用它们解决有关的综合问题．
1．
2．三种常见的对称问题
(1)点关于点的对称
点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为P′________________．
(2)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．
(3)线关于点、线的对称
线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标x，y满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
一、选择题
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0的对称点为( )
A．(－13,1) B．(－2，－6)
C．(－1，－3) D．(17，－9)
2．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
3．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( )
A．(5，－3) B．(9,0)
C．(－3,5) D．(－5,3)
4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
5．若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0与3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为( )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
6．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则的最小值是( )
A． B． C．13 D．不存在
二、填空题
7．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为________________．
8．如图所示，已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)，直线l平行于AB，且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的，则直线l的方程为________．
9．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________．
三、解答题
10．一条直线被直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．
11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；
(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．
力气提升
12．直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大值．
13．已知M(1,0)、N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，求|PM|2＋|PN|2的最小值及取最小值时点P的坐标．
1．在平面解析几何中，用代数学问解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．
2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．
3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉状况．
习题课 直线的位置关系与距离公式 答案
学问梳理
1．(1) (2)
(3)
2．(1)(2a－x0,2b－y0) (2)＝
作业设计
1．C [设对称点为(x0，y0)，
则由得]
2．B [直线3x－4y＋5＝0与x轴交点为，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k＝－．
∴y＝－，即3x＋4y＋5＝0．]
3．A [当PQ与已知直线垂直时，垂足Q即为所求．]
4．B [当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－1)即kx－y＋3－k＝0．由已知＝1，解得
k＝，满足题意．故共存在2条直线．]
5．C [把x＝5代入6x－8y＋1＝0得y＝，
把x＝5代入3x－4y＋5＝0得y＝5，∴<b<5．
又∵b为整数，∴b＝4．]
6．A [＝，
它表示点(x，y)与(1,2)之间的距离，
两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x＋12y＝60的距离，
∴d＝＝．]
7．3x－y＋3＝0
8．x－2y＋5＝0
解析 由已知，直线AB的斜率k＝，
∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为k＝．
∵△CEF的面积是△CAB面积的，
∴E是CA的中点，
∴点E的坐标，直线EF的方程是y－＝x，即x－2y＋5＝0．
9．5
解析 设点A关于直线l的对称点A′的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l且AA′被l平分，
得
解之得a＝3，b＝－3．∴点A′的坐标为(3，－3)，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝＝5．
10．解 设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，它关于原点的对称点为B(－x0，－y0)，且B在直线l2上，
由
解得
∴所求直线方程为y＝x＝－x，
即x＋6y＝0．
11．解 (1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－，
又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－．
∴直线l′：y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0．
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝．
设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－b，
由题意可知，S＝|b|·＝4，
∴b＝±．
∴直线l′：y＝(x＋)或y＝(x－)．
(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l′与l关于原点对称．
任取点(x0，y0)在l上，则在l′上对称点为(x，y)．
x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0．
∴l′为3x＋4y＋12＝0．
12．解 找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点．设A′(a，b)，则．
解得，所以|A′B|＝＝3．
13．解 ∵P为直线2x－y－1＝0上的点，
∴可设P的坐标为(m,2m－1)，由两点的距离公式得
|PM|2＋|PN|2＝(m－1)2＋(2m－1)2＋(m＋1)2＋(2m－1)2＝10m2－8m＋4．(m∈R)
令f(m)＝10m2－8m＋4＝102＋≥，
∴当m＝时，|PM|2＋|PN|2取最小值，此时P．
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