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2021年春德化一中其次次月考
高二数学（理）试卷
卷面总分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填涂在答题卡上)
1．复数=（ ）
A．2+i B．2-i C． 1+2i D．1- 2i
2. 二项式的开放式中含项的系数为（ ）
A． B． C D．
3.有5名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少支配2名游客，那么互不相同的支配方法的种数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
4. 设(x＋3)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋3)＋a2(x＋3)2＋…＋a11(x＋3)11，则a1＋a2＋…＋a11的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．某人练习射击，共有5发子弹，每次击中目标的概率为0.6，若他只需要在五次射击中四次击中目标就算合格，一旦合格即停止练习。则他在第五次射击结束时恰好合格的概率为
A． B． C． D．
6．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
7．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记大事A=“取出的两个球颜色不同”，大事B=“取出一个红球，一个白球”，则（ ）
A． B． C D．
8.如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必需涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（ ）种．
A. 45 B. 60 C. 180 D. 120
9．已知实数满足， ，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
10.如图所示，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个位于同行或同列的概率是（ ）
A. B. C. D.
11.已知，且，则下列各结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
12．已知函数在点(1,2)处的切线与的图像有三个公共点,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题5小题，每小题分，共25分．把答案填在答题卡相应的位置上）
13、假如随机变量,且,则=
14．从2名男生和2名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参与某公益活 动,每天一人,则星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的概率为
x
y
O
A
C
(1,1)
B
15．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点,则点M取自阴影部分的概率为
16．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，
则实数a的取值范围为________．
17．计算，可以接受以下方法：
构造等式：，两边对x求导，
得，
在上式中令，得．类比上述计算方法，计算 ．
三、解答题：（本大题共5小题，满分65分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
18.（本小题满分12分）
淘宝卖家在某商品的全部买家中，随机选择男女买家各50位进行调查，他们的评分等级如下：
评分等级
女（人数）
2
8
10
18
12
男（人数）
4
9
19
10
8
（Ⅰ）从评分等级为的人中随机选2个人，求恰有1人是女性的概率；
（Ⅱ）规定：评分等级在的为不满足该商品，在的为满足该商品。完成下列列联表并挂念卖家推断：能否在犯错误的概率不超过的前提下认为满足该商品与性别有关系？
满足该商品
不满足该商品
总计
女
男
总计
参考数据与公式:
（1）:
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（2）：其中为样本容量。
19．（本题满分12分）
（1）解不等式：。
（2）求函数的最大值
20、（本题满分13分）
“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参与该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.依据活动规定，现记为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和均值（数学期望）
21、（本题满分14分）
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规章如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球嘉奖10元，摸到白球或黄球嘉奖5元，摸到黑球不嘉奖．
（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．
．
22本题满分14分）
已知函数.
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：.
2021年春德化一中其次次月考高二数学（理）试卷参 考 答 案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
CDBAD CBCAB CD
12.试题分析：当 时， ，则 ，则在 点处的切线方程为 ．当 时， ，即．作出函数图像如图所示，随着 减小时，半圆向下移动，当点 落在切线上时，在点 处的切线与 的图像有三个公共点，即 ．再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线 的图象有三个公共点，相切时与 的图象有两个交点，即 ，解得 ， 的取值范围是 ．
二、填空题（本题5小题，每小题分，共25分）
13. 0.1 14. 15. 16. (－∞，－1]∪[4，＋∞) 17. n（n+1）2n-2
17.对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1=n（1+x）n-1，两边同乘以x得：
xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n•x•（1+x）n-1，
再两边对x求导
得到：Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+n2Cnnxn-1=n（1+x）n-1+n（n-1）x（1+x）n-2
在上式中令x=1，得Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=n•2n-1+n（n-1）•2n-2=n（n+1）2n-2．
故答案为：n（n+1）2n-2
三、解答题：（本大题共5小题，满分65分）
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）从评分等级为的28人中随机选2个人，共有种结果，
其中恰有1人是女性的共有种结果，
故所求的概率 ……5分
（Ⅱ）
满足该商品
不满足该商品
总计
女
30
20
50
男
18
32
50
总计
48
52
100
……8分
假设:是否满足该商品与买家的性别无关
则
因此，在犯错误的概率不超过的前提下认为满足该商品与性别有关。……12分
19（本小题满分12分）解：（1）①当时，不等式等价为，即，，此时；
②当时，不等式等价为，即，恒成立，此时；
③当时，不等式等价为，即，，此时，
综上不等式的解为，所以不等式的解集为。……6分
(2) 函数的定义域为【1，5】，且y>0
当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值 ……12分
20：（本小题满分13分）由于每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 1分
（Ⅰ）设大事M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，
则． 5分
（Ⅱ）由于为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以．………6分
所以，，
，，
，，
10分
故的分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
………………11分
所以．故所求的期望为． ………………………………13分
21、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为大事，则 ，
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为． ………………5分
（Ⅱ）解：随机变量的全部取值为． ………………6分
，，， ， ． ………………11分
所以，随机变量的分布列为:
0
5
10
15
20
………12分
． ………………14分
22．（本小题满分14分） 解：（1）由得，所以．…1分
由得，故的单调递增区间是，……………………3分
由得，故的单调递减区间是 …………………5分
（2）由可知：是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立………6分
由得．
①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意．…………………………8分
②当时，．
当变化时的变化状况如下表：
单调递减
微小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意得：，又．
综合①，②得，实数的取值范围是：．………………………………10分
（3），
………………………………………12分
，
由此得：
故．……………………14分
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