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双基限时练(十八)
1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由平面对量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；由于向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标是终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．
答案 B
2．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
解析 ＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)，故选A.
答案 A
3．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则＝( )
A．(0,5) B．(0,1)
C．(2,5) D．(2,1)
解析 ＝(－)＝(4,2)＝(2,1)．
答案 D
4．已知平面对量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于y轴
B．平行于第一、第三象限的角平分线
C．平行于x轴
D．平行于其次、第四象限的角平分线
解析 a＋b＝(x,1)＋(－x，x2)＝(0,1＋x2)，
由1＋x2≠0及向量的性质可知，a＋b平行于y轴．
答案 A
5．若M(4，－1)，＝(4，－1)，则有( )
A．点M与点A重合
B．点M与点B重合
C．点M在上
D.＝(O为坐标原点)
解析 M(4，－1)，即＝(4，－1)，又＝(4，－1)，∴＝.
答案 D
6．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b－a的坐标是( )
A．(3，－4) B．(－3,4)
C．(3,4) D．(－3，－4)
解析 a＝(3,2)，b＝(0，－1)，∴2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)．
答案 D
7．在平行四边形ABCD中，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.(用坐标表示)
解析 ＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案 (－1，－1)
8．平面上三点分别为A(2，－5)，B(3,4)，C(－1，－3)，D为线段BC中点，则向量的坐标为________．
解析 依题意知＝(＋)＝(2,1)＝，则＝－＝(2，－5)－＝.
答案
9．若点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)且＝2－3，则点D的坐标为________．
解析 设D(x，y)，则＝(x＋1，y－2)＝2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(6,2)－(3，－12)＝(3,14)，∴x＋1＝3且y－2＝14，∴x＝2，y＝16.
答案 (2,16)
10．已知O为坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量＝________.
解析 设＝(x，y)，则x＝4 cos60°＝2，
y＝4 sin60°＝6，∴＝(2，6)．
答案 (2，6)
11．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(2,4)，求a，b.
解 ∵2a＋b＝(－4,3)，
∴4a＋2b＝(－8,6)．
又a－2b＝(2,4)，
∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8,6)＋(2,4)．
∴5a＝(－6,10)．
∴a＝.
又b＝(2a＋b)－2a
＝(－4,3)－2
＝，
∴a＝，b＝.
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试求t为何值时，
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P在第一象限．
解 ∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，
∴＝(1,2)，＝(3,3)．
∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
∴t＝－；
(2)若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
∴t＝－；
(3)若点P在第一象限，则
∴t＞－.
13．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝.
(1)求点E，F及向量的坐标；
(2)求证：∥.
解 (1)设O(0,0)，则＝＋＝＋
＝(－1,0)＋(2,2)
＝，
＝＋＝＋
＝(3，－1)＋(－2,3)＝，
∴E，F.
∴＝－＝.
(2)证明：∵＝－＝(4，－1)，
＝
∴＝＝.
∴∥.
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