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其次章 2.1 2.1.3 第2课时
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则在下面区间内f(x)不是递减函数( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(1，＋∞)
[答案] C
[解析] f(x)＝在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A、B、D正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．
2．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－2x
C．y＝ D．y＝x2－4x＋3
[答案] A
[解析] y＝|x|＝，
∴函数y＝|x|在(0,1)上是增函数．
3．(2022～2021学年度宁夏育才中学高一上学期月考)函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上是减函数时，b的取值范围是( )
A．b≤－2 B．b≥－2
C．b>－2 D．b<－2
[答案] A
[解析] 由题意得－≥1，∴b≤－2.
4．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
[答案] A
[解析] 函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，
∴函数f(x)的最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.
5．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)．若x1<x2，x1＋x2＝0，则( )
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)<f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
[答案] C
[解析] f(x1)－f(x2)＝ax＋2ax1＋4－ax－2ax2－4＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋2a(x1－x2)
∵a>0，x1<x2，x1＋x2＝0，
∴f(x1)－f(x2)＝2a(x1－x2)<0，
∴f(x1)<f(x2)．
6．已知函数f(x)在其定义域R上单调递增，则满足f(2x－2)<f(2)的x的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)
[答案] D
[解析] ∵函数f(x)在其定义域R上单调递增，
∴2x－2<2，∴x<2，故选D．
二、填空题
7．函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上的单调性为________．
[答案] 单调递减
[解析] ∵函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，∴a<0.又函数y＝－2x2＋ax的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝<0，∴函数y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上单调递减．
8．函数y＝|x－3|＋2的递增区间为________，递减区间为________．
[答案] [3，＋∞) (－∞，3]
[解析] y＝|x－3|＋2＝，
其图象如图所示，
由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]．
三、解答题
9．已知f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，若f(t－1)<f(1－3t)，求t的取值范围．
[解析] ∵函数f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，且f(t－1)<f(1－3t)，
∴，∴，即0≤t<.
故t的取值范围为0≤t<.
10．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，且当x>2时， f(x)为增函数，试比较f(1)、f(4)、f(－2)的大小．
[解析] ∵x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又x>2时，f(x)为增函数，∴x<2时，f(x)为减函数，
则在x轴上距离对称轴x＝2越远的数，其函数值越大，∴f(－2)>f(4)>f(1).
一、选择题
1．函数y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0
C．a<0 D．a≤0
[答案] D
[解析] 如图所示：
∴函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，
要使y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则有a≤0.
2．设(a，b)、(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )
A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[答案] D
[解析] 依据函数单调性的定义，所取两个自变量必需在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x1、x2分别在两个单调增区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D．
3．下列函数中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x＋
[答案] C
[解析] >0⇔>0⇔f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A、B错误；f(x)＝x＋在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在[－2，＋∞)上递增，故选C．
4．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)>25
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝4x2－mx＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝，由f(x)在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴≤－2，即m≤－16.又f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.
二、填空题
5．已知函数y＝ax和y＝在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是__________函数．
[答案] 增
[解析] ∵y＝ax和y＝在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b>0，结合二次函数图象可得，函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是增函数．
6．设函数f(x)满足；对任意的x1、x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
[答案] f(－3)>f(－π)
[解析] (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可得函数为增函数．
∵－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．
三、解答题
7．求函数y＝－的最小值．
[解析] 由于x－1≥0，且x≠0，所以x≥1，
则函数f(x)的定义域为[1，＋∞)．
又y＝在[1，＋∞)上单调递增，
而y＝在[1，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝－在[1，＋∞)上单调递增，
所以函数y＝－在[1，＋∞)上单调递增．
所以当x＝1时，ymin＝－＝－1，
故所求的最小值为－1.
8．已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时， f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)证明：设x1、x2是任意的两个实数，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，
∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，
又∵x2＝(x2－x1)＋x1，
∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)<f(x1)．
∴f(x)是R上的单调递减函数．
(2)解：由(1)可知f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
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