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2021年重庆一中高2022级高二下期期末考试
数 学 试 题 卷（理科）2021.7
数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
留意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必需使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必需使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.全部题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
设集合,,全集,则集合的子集共有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
已知ξ～N(0,)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于( )
A.0.1 B.0.2 C.0.6 D.0.8
下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
设某中学的女生体重y(kg)与身高x(cm)具有线性相关关系，依据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为＝0.85x－85.71，给出下列结论,则错误的是（ ）
A.y与x具有正的线性相关关系；
B.回归直线至少经过样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)中的一个；
C.若该中学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；
D.回归直线确定过样本点的中心点。
已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
下列命题中的真命题的个数是（ ）
① 成立的一个充分不必要的条件是；
② 已知命题p∨q为真命题，则p∧q为真命题；
③ 命题“x∈R，x2－x>0”的否定是“x∈R，x2－x≤0”；
④ 命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为：“若x－1，则x2－3x＋2≤0”。
A.个 B.个 C.个 D.个
（原创）2021年6月20日是我们的传统节日——”端午节”,这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，大事“取到的两个为同一种馅”，大事“取到的两个都是豆沙馅”，则（ ）
A. B. C. D.
8.对于定义在上的奇函数,满足,若=,则（ ）
A. B. C. D.
9.（原创）某高中的4名高三同学方案在高考结束后到西藏、新疆、香港等3个地区去旅游，要求每个地区都要有同学去，每个同学只去一个地区旅游，且同学甲不到香港，则不同的出行支配有（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种
（原创）进入高三,为加强养分，某同学每天早餐有四种互不相同套餐可供选择，每天使用其中的一种套餐，且每天都是从头一天中未使用的三种套餐中等可能地随机选用一种。在一周内，现已知他星期一使用Ａ种套餐，那么星期六他也使用Ａ种套餐的概率是（ ）
A. B. C. D.
定义在上的函数满足：，f(0)＝3，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<－1或x>1} D.{x|x<－1或0<x<1}
已知，若，则的取值范围是（ ）
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生依据要求作答。
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。
已知随机变量满足，X＋Y＝8，且X～B(10，0.6)，则______
在的开放式中，项的系数为 （结果用数值表示）
已知直线中的是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的斜率为正，则符合这些条件的直线的条数是
（原创）已知函数，其中,在上存在最大值和最小值，则的取值范围是
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为。
(1).求乙投球的命中率；
(2).求甲投球2次，至少命中1次的概率；
(3).若甲、乙两人各投球2次，求两人合计共命中2次的概率。
（本小题满分12分）已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋40在R上无解，命题q：实数x满足。
(1).若是真命题，求实数的取值范围；
(2).若“p”是“q”的充分不必要条件，求实数的取值范围。
（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：
， ， ，
， ， .
(1).现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(2).现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则连续进行，求抽取次数的分布列和数学期望。
（本小题满分12分）设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。
(1).推断f(x)在上的单调性，并加以证明；
(2).当≤≤2021时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
（本小题满分12分）已知函数，
(1).若函数在处的切线斜率为，求实数的值；
(2).若存在使成立，求实数的范围；
(3).证明对于任意有：。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲
如图所示，AB是半径为1的圆O的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，
相交于点C，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
(1).求证:;
(2).求BC·BE＋AC·AD的值。
（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的极坐标方程为
ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C2的参数方程为 (α为参数)．
(1).将C1的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2).若C2上的点Q对应的参数为α＝，P为C1上的动点，求的最小值。
（本小题满分10分）（原创）选修4 - 5：不等式选讲
设关于的不等式．
(1).当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(2).若原不等式的解中整数解恰有个，求实数的取值范围。
命题人：黄勇庆
审题人：王 明
2021年重庆一中高2022级高二下期期末考试
数学试题参考答案（理科） 2021.7
一.选择题.(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
D
B
A
B
C
D
A
C
二.填空题.(每小题5分,共20分)
13. 4.4 14. 112 15. 43 16.
三.解答题.(共75分)
17.解：（1）设“甲投球一次命中”为大事A，“乙投球一次命中”为大事B．
由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
（2） 由题设和（1）知．故甲投球2次至少命中1次的概率为
（3）由题设和（1）知，
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种状况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为
，，
所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．
18. 解：依题意，命题p成立则－2<<2，命题q：2－<<4－
(1)若是真命题，则都是真命题有：{a|－2<a≤1}．
(2)若“p”是“q”的充分不必要条件，可知q是p的充分不必要条件．
只需解得2≤≤4.所以实数的取值范围是[2,4]．
19 .解（1）记大事A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
由题意知
（2）易知可取．，
；
故的分布列为
答：的数学期望为
20.解（1）任意的,则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x 2)－f(x1)，由于x＞0时，f(x)＜0，故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。∴f(x2)＜f(x1)，f(x)在上单调递减
（2）f(x)在区间[－2021，2021]上单调递减∴x=－2021时，f(x)有最大值
f(－2021)=－f(2021)=－f(2022+1)=－[f(2022)+f(1)]=－[f(2021)+f(1)+f(1)]=…
=－2021f(1)=4030,所以。
21. 解（1)..由已知：，∴由题知，解得，
(2).由已知，
当时，，所以在单调递增,，确定符合题意；
当时，,所以单调递增区间为，单调递减区间为。,由题意知，
只需满足综上：.
（3）要证明
只需证(n∈N*，n≥2)．
只需证，
只需证．
由（1）当时，，f(x)为减函数，
即，∴ 当n≥2时，，
，
<
，
∴ ．
∴
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
22.解(1)连接BD，,
(2)由题意知∠AEC＋∠AFC＝180°，故A，F，C，E四点共圆，
所以BC·BE＝BF·BA，①易知∠ADB＝90°，
同理可得AC·AD＝AF·AB，②
联立①②，知BC·BE＋AC·AD＝(BF＋AF)·AB＝AB2＝22＝4.
23.解(1)x2＋y2－8y＋15＝0.
(2) 当α＝时，得Q(－2,1)，点Q到C1的圆心(0,4)的距离为，
所以PQ的最小值为－1.
24.解(1). 当时，，。
(2) 此不等式有解，所以
由，由于不等式整数解有限个， 所以，，所以，，，又，所以确定有整数解1,2，所以，所以。
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