2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第四章-第五节数系的扩充与复数的引入.docx

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课时提升作业(二十九)
一、选择题
1.(2021·郑州模拟)设i是虚数单位,若复数为实数，则实数a为( )
(A)2 (B)-2 (C) (D)
2.(2021·银川模拟)若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位)，则z的共轭复数等于( )
(A)-i (B) (C)i (D)
3.(2021·三明模拟)在复平面内,复数对应的点的坐标为( )
(A)(1,1) (B)(-1,1)
(C)(-1,-1) (D)(1,-1)
4.已知复数z＝1＋i，则等于( )
(A)2i (B)-2i
(C)2 (D)-2
5.(2021·广州模拟)已知复数a+bi=i(1-i)(其中a,b∈R,i是虚数单位)，则a+b的值为( )
(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2
6.(2021·合肥模拟)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )

(A)E (B)F (C)G (D)H
7.设0<θ<,a∈R，(a＋i)(1－i)＝cosθ＋i，则θ的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
8.(2021·泉州模拟)设i为虚数单位，则复数的共轭复数为( )
(A)-4-3i (B)-4+3i
(C)4+3i (D)4-3i
9.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R)，其中i是虚数单位，则等于( )
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
10.(力气挑战题)若是纯虚数，则θ的值为( )
(A) k∈Z (B) k∈Z
(C) k∈Z (D) k∈Z
二、填空题
11．若(1+ai)2=-1+bi(a，b∈R,i是虚数单位)，则|a+bi|=__________．
12.定义一种运算如下：则复数(i是虚数单位)的共轭复数是________.
13.(力气挑战题)已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________.
14.若复数z＝cosθ＋isinθ且则sin2θ＝________.
三、解答题
15.已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值.
(2)若复数满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.

答案解析
1.【解析】选A.由于依题意知a-2=0，则a=2.
2.【解析】选C.由条件知
所以
3.【解析】选B.
∴复数对应点的坐标为(-1,1)，故选B.
4.【解析】选A.＝2i.
【变式备选】已知x,y∈R，i为虚数单位，且(x-2)i-y=-1+i，则(1+i)x+y的值为
( )
(A)4 (B)4+4i (C)-4 (D)2i
【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i，
得x=3,y=1,
∴(1+i)4=［(1+i)2］2=(2i)2=-4.
5.【解析】选D.a+bi=i(1-i)=1+i,
∴a=1,b=1,∴a+b=2.
6.【解析】选D.依题意得z＝3＋i，＝2－i，该复数对应的点的坐标是(2，－1)，选D.
7.【解析】选D.由条件得a++(-a)i=cos θ+i，
∴
解得cos θ=.又0＜θ＜，∴θ=.
8.【解析】选C.=-(3i-4)=4-3i,
∴它的共轭复数为4+3i.
9.【解析】选C.由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,
故m=2,m=-n,故m=2,n=-2,
故
10.【解析】选B.由题意，得
解得
∴
11.【解析】∵(1+ai)2=-1+bi,
∴1-a2+2ai=-1+bi,
∴
解得或
∴|a+bi|=
答案：
12.【解析】由定义知, 故
答案:
13.【解析】z1·z2＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ).
实部为cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤
所以实部的最大值为
虚部为cos θ－sin θ＝sin(－θ)≤
所以虚部的最大值为
答案:
14.【解析】所以
答案:
【方法技巧】解决复数中的三角函数问题的技巧
解决复数与三角函数相结合的问题时，一般先依据复数的运算把复数化为代数形式，然后依据复数相等的概念得到复数的实部、虚部间的关系，利用题中的条件把问题转化为三角函数问题解决.
15.【思路点拨】(1)把b代入方程，依据复数的实部、虚部等于0解题即可.
(2)设z=s+ti(s，t∈R)，依据所给条件可得s,t间的关系，进而得到复数z对应的轨迹，依据轨迹解决|z|的最值问题.
【解析】(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
∴解得a=b=3.
(2)设z＝s＋ti(s，t∈R),其对应点为Z(s,t)，
由得(s－3)2＋(t＋3)2＝4(s2＋t2)，
即(s＋1)2＋(t－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，
为半径的圆，如图所示，
当Z点在OO1的连线上时，
|z|有最大值或最小值.
∵
半径r＝
∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝
【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件：
①是实数；②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在？若存在，求出z;若不存在，请说明理由.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，
则
=
又z+3=a+3+bi，是实数,
依据题意有
∵b≠0，∴

∴z=－1－2i或z=－2－i.
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