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2021年重庆一中高2021级高二上期半期考试
数 学 试 题 卷（文科）2021.12
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合, , 则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知，，则
A． B． C． D．
3. 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为( ）
A． B． C． D．
4. 已知圆，圆，圆与圆的位置关系为（ ）
A. 外切 B. 相离 C. 相交 D. 内切
5. 设椭圆的两个焦点分别为、，若上存在点满足，则的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
6. 设公比的正项等比数列的前项和为，且，则（ ）
A. 31 B. 36 C. 42 D. 48
7. 与双曲线共渐近线, 且过点的双曲线的标准方程为 ( )
A. B. C. D.
8. 设满足约束条件，则的最小值是( )
A. B. C. D.
(原创)9. 已知是上的增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点, 它们到直线的距离之和等于, 则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，点为直线上的一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
(原创)12. 设是定义在上的导函数恒大于零的函数, 且满足, 则的零点个数为（ ）
A. B. C. D. 或
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）
13. 已知，，则________.
14. 已知过点, 的直线与直线垂直, 则=_________.
(原创)15. 已知椭圆方程为，是该椭圆的过焦点的其中条弦的长度，若数列是等差数列，则数列的公差的最大值为 ___________.
(原创)16. 已知关于的方程有相等根，则的最大值为_____.
三、解答题（共6个小题, 共70分）
17. （本题满分10分）
在中，角所对应的边为，且.
(1) 求的值；
(2) 若的面积，求的值.
(原创)18.（本题满分12分）已知函数在时取得极值.
(1) 求；
(2) 求在上的最值.
19.（本题满分12分）已知椭圆过双曲线的右顶点且离心率为.
(1) 求的方程；
(2) 求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标.
20.（本题满分12分）已知等差数列满足.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若，求数列的前项和.
(原创)21. （本题满分12分）在平面直角坐标系中，第一象限内的动点满足：
①与点、点连线斜率互为相反数；
②.
(1) 求动点的轨迹的方程;
(2) 若存在直线与和椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.
(原创)22.（本题满分12分）已知函数.
(1) 求的单调区间;
(2) 若，且不存在，使得成立，求的取值范围.
出题人: 周 娟
审题人: 李红林
2021年重庆一中高2021级高二上期半期考试
班次 姓名 挨次号 考号
— — — — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — — —封 — — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — — —
在在在在
是在
数 学 答 卷（文科）2021.12
二、填空题（20分）：每小题5分；只填结果，不要过程。
13．____ ____； 14．____ ____；15．____ _；16. ______ __。
三、解答题（70分）：各题解答必需答在相应题目指定的方框内，必需写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。
17．（10分）解：
18．（12分）解：
19．（12分）解：
20．（12分）解：
21．（12分）解：
22．（12分）解：
2021年重庆一中高2021级高二上期半期考试
数 学 答 案（文科）2021.12
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-6: A A D C A A 7-12: D B C D A B
二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17. （本题满分10分）
解：（1）由得
∴∵ ∴；
（2）由
由余弦定理：，所以为直角三角形
易得
18.（本题满分12分）
解：（1）,由题意得；
（2）由（1），令或
当x变化时，f′（x），f（x）的变化状况如下表：
f′（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
2
↘
1
↗
,,,
所以，
19.（本题满分12分）
解:（1）易得 C的方程为
（ Ⅱ）法一：点差法可得：，又， 所以中点为
法二：过点且斜率为的直线方程为，
设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，
将直线方程代入Ｃ的方程，得，
即，解得，，
AB的中点坐标，，
即中点为。
20.（本题满分12分）
解: (1) 数列是等差数列, 设其公差为, 则.
所以, 则,
即数列的通项公式为.
(2)∵cn＝(2n－1)×2n－1，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①
2Tn＝1×21＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②
①－②得－Tn＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n，
整理得－Tn＝1＋2×－(2n－1)·2n＝－(2n－3)×2n－3. ∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.
21. （本题满分12分）
解：（1）由①可得
代入②得：，解得：且
所以曲线的方程为： （且）
（2）由题意，直线与相切，设切点为（且）
则直线的方程为,即
联立
由题意，直线与椭圆相切于点，则
即
又即，联立得
由且以及得，
故，又
所以椭圆的离心率的取值范围是
22.（本题满分12分）
解: (1) 由，得.
(1) 当时, .
(i) 若, 当时, 恒成立, 所以函数的单调递减区间是.
(ii) 若, 当时, , 函数单调递减.
当时, , 函数单调递增.
所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.
(2) 当时, 令, 得.
由得.
明显, , .
当时, , 函数单调递减.
当时, , 函数单调递增.
所以函数的单调递减区间是,
单调递增区间是.
综上所述,
当时, 函数的单调递减区间是.
当时, 函数的单调递减区间是,单调递增区间是.
当时, 函数的单调递减区间是,
单调递增区间是
（2）①当时， ，在上单调递减，,不合题意.
②当时，由（1）可知，在单调递减，在上单调递增，所以只需 的最小值为即可，
令，则在上单调递增，，所以当时，，当时，，所以的取值范围是.
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