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双基限时练(十五)
1．当a>2时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只能是( )
解析 ∵a>2，a－1>1，
∴y＝ax是定义域上的增函数．
y＝(a－1)x2是开口向上的抛物线．
答案 A
2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析 由于f(－x)＝3－x＋3－(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，
g(－x)＝3－x－3－(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，
所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数．
答案 B
3．函数y＝|2x－2|的图象是( )
解析 找两个特殊点，当x＝0时，y＝1，排解A，C.当x＝1时，y＝0，排解D.故B正确．
答案 B
4．a，b满足0<a<b<1，下列不等式中正确的是( )
A．aa<ab B．ba<bb
C．aa<ba D．bb<ab
解析 ∵0<a<b<1，∴aa>ab，故A不成立，同理B不成立，若aa<ba，则a<1，∵0<<1,0<a<1，
∴a<1成立，故C正确．
答案 C
5．某厂2021年的产值为a万元，估计产值每年以b%递增，则该厂到2025年的产值(万元)是( )
A．a(1＋b%)13 B．a(1＋b%)12
C．a(1＋b%)11 D.a(1－b%)12
解析 2021年产值为a，则2022年产值为a＋a·b%＝a(1＋b%)，2021年产值a(1＋b%)＋a(1＋b%)b%＝a(1＋b%)(1＋b%)＝a(1＋b%)2…
所以2025年的产值为a(1＋b%)12，应选B.
答案 B
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
解析 由题意得
解得4≤a<8.
答案 D
7．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系为________．
解析 由指数函数y＝ax当0<a<1时为减函数知，
0．80.7>0.80.9，又1.20.8>1,0.80.7<1，
∴1.20.8>0.80.7>0.80.9，即c>a>b.
答案 c>a>b
8．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．
解析 法一：由指数函数的性质可知f(x)＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间(－∞，1]．
法二：f(x)＝|x－1|＝
可画出f(x)的图象求其单调递增区间．
答案 (－∞，1]
9．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．
解析 令x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0,1)．
方程转化为t2＋2t＋a＝0，
∴a＝1－(t＋1)2.
∵t∈(0,1)，∴a∈(－3,0)．
答案 (－3,0)
10．已知关于x的方程x＝7－a的根大于0，求a的取值范围．
解 ∵x>0，∴0<x<1，
即0<7－a<1，∴6<a<7.
∴a的取值范围是6<a<7.
11．解不等式a2x＋7<a3x－2(a>0，a≠1)．
解 当a>1时，a2x＋7<a3x－2等价于2x＋7<3x－2，
∴x>9；
当0<a<1时，a2x＋7<a3x－2等价于2x＋7>3x－2.
∴x<9.
综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>9}；
当0<a<1时，不等式的解集为{x|x<9}．
12．设a∈R，f(x)＝a－(x∈R)．
(1)证明对任意实数a，f(x)为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)≤0恒成立．
解 (1)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝.
∵指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2，
∴2x1<2x2，即2x1－2x2<0.
又2x>0，∴2x1＋1>0,2x2＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
故对于任意实数a，f(x)为增函数．
(2)f(x)＝a－≤0恒成立，只要a≤恒成立，问题转化为只要a不大于的最小值．
∵x∈R,2x>0恒成立，∴2x＋1>1.
∴0<<1,0<<2，∴a≤0.
故当a≤0时，f(x)≤0恒成立．
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