福建省德化一中2020年秋季高二数学(理科)周练15-Word版含答案.docx

德化一中2022年秋季高二数学（理科）周练15
班级______ 座号______ 姓名_________ 成果_________
一、选择题（本大题共12小题）
1.抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D．
2.已知向量，，，且与相互垂直，则k＝（ ）
A.1 B. C. D.
3.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B.
C. D.

4．若点P到直线的距离比它到点（2,0）的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A.圆 B.椭圆 C. 双曲线 D.抛物线
5．等比数列的各项均为正数,且，则（ ）
A.12 B.10 C. D.
6.设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的确定值等于10，则曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，假如是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．若直线过点(1,0)与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A．4条 B．3条 C． 2条 D．1条
9. 若，，且构成等比数列，则（ ）
A．有最小值4 B．有最小值4 C．无最小值 D．有最小值2
10. 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　 ） A. B. C. D.
11.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是( )
A．0<≤2或≥4 B．0<≤2 C．2≤≤4 D．≥4
12. 设点是曲线上的点，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题）
13.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为 .
14.若向量满足：则 .
15.已知正的顶点，顶点在第一象限，若点是内部或其边界上一点，则的最小值为 .

16.如图，在棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1中， M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是 .
17.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值范围为 .
三、解答题（本大题共5小题）
18.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）BE和平面所成角的正弦值。

19.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上.
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率.

20. 如图，三棱柱的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，为的中点．
（I）求证：MC⊥AB； （II）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由； （Ⅲ）若点为的中点，求二面角的余弦值．

21.数列的前n项和为Sn，且，数列满足=2，.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为Tn。
（3）是否存在等差数列，使得对一切n∈N*都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由

22. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.
（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，假如存在，求出的取值范围，假如不存在，说明理由.

德化一中2022年秋季高二数学（理科）周练15参考答案
ADADB BBBCB AC 13、 14、 15、 16、2 17、
18、（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、
<>所以异面直线与所成角的余弦为.
（2）设平面的法向量为 则
由
由，
则，故BE和平面的所成的角正弦值为

19、解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为
由于点在抛物线上,所以，得.
故所求抛物线的方程是, 准线方程是.
（II）设直线的方程为，
即：，代入，消去得：.
设，由韦达定理得：，即：.
将换成，得，从而得：，
直线的斜率.

20、解：（I）取AB中点O，连接OM，OC. ks5u
∵M为A1B1中点，∴MO∥A1A，又A1A⊥平面ABC，
∴MO⊥平面ABC，∴MO⊥AB
∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO 又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC
又∵MC平面OMC ∴AB⊥MC
（II）以O为原点，以，，的方向分别为轴，轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意
．
设，
则．
要使直线平面，只要
即，解得．
∴的坐标为． ∴当为线段的中点时，平面．
（Ⅲ）取线段的中点，则，易知平面，
故为平面的一个法向量．
又由（II）知为平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，则
．
∴二面角 的余弦值为．

21、解：(1)当n=1时，a1=2-1，∴a1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1，……3 又n=1时成立， ∴an=2n-1
(2)∵bn+1=an+bn，∴bn+1-bn=2n-1
从而bn-bn-1=2n-2，
bn-1-bn-2=2n-3,
……
b2-b1=1，
以上等式相加，得bn-b1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1，又b1=2，∴bn=2n-1+1
Tn=b1+b2+…+bn=(20+21+…+2n-1)+n.=2n-1+n
（3）设存在等差数列使得对一切n∈N*都成立，则n=1时有，∴ 则n=2时有，∴
∴等差数列的公差d=1，∴ 设
∴
∴2S-S=
∴存在等差数列且满足题意

22、（Ⅰ）设B（x0，0），由（c，0），A（0，b），知
，
由于 即为中点．故
， 故椭圆的离心率
（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B，
△的外接圆圆心为（，0），半径r=||=,
D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得=2，∴c =1，b=， 所求椭圆方程为.
（Ⅲ）由（2）知, ：
代入得
设， 则，

由于菱形对角线垂直，则 故
则
由已知条件知且

故存在满足题意的点P且的取值范围是．