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高三数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知复数，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3、给定函数① ② ③ ④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4、在中，若，则的外形是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5、为了普及环保学问，增加环保意识，某高校随机抽取30名同学参与环保学问测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为，
众数，平均数为，则（ ）
A． B．
C． D．
6、已知平面，直线，且有，给出下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确命题个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
8、设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的交点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9、已知函数，若函数在R上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、若函数，并且，则下列各结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、圆心在直线上的圆与y轴交于两点，则该圆的标准方程为
12、已知满足不等式组，则的最大值
与最小值的比为
13、定义在实数集R上的函数满足，
且
现有以下三种叙述①8是函数的一个周期；
②的图象关于直线对称；③是偶函数。
其中正确的序号是
14、执行如图中的程序框图，假如输入的，则输出的所在区间是
15、在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面对量上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，则
②若，则；
③对于，则对于任意；
④对于任意向量，若，则
其中真命题的序号为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知函数，且当时，的最小值为2，
（1）求的值，并求的单调递增区间；
（2）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再Ian个所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上全部根之和。
17、（本小题满分12分）
如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且
（1）证明：平面ABEF平面BCDE；
（2）求三棱锥的体积
18、（本小题满分12分）
某高三班级从甲（文）乙（理）两个班级组各选出7名同学参与高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成果（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组同学的平均分是85，乙组同学成果的中位数是83.
（1）求和的值；
（2）计算甲组7位同学成果的方差；
（3）从成果在90分以上的同学中随机取两名同学，求甲组至少有一名同学的概率。
19、（本小题满分12分）
数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式；
（3）令，求数列的 n项和。
20、（本小题满分13分）
设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围。
（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围。
21、（本小题满分14分）
椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点。
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求的方程。
高三数学（文）试题参考答案
一、选择题
B D B A D B D C D D
二、填空题
11.（x－2)2＋(y＋3)2＝5 12. 2∶1 13. ①②③ 14. 15. ①②③
三、解答题：
16. 解：（1）函数，…2分
，，得；…4分
即，由题意得，
得，
所以函数的单调递增区间为．…6分
（2）由题意得，又由得，…9分
解得 ， 即 ，
，故全部根之和为．……12分
17. （1）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，
易知，且，
在多面体中，由，知，
故………………………………2分
又平面BCDE，
故平面BCDE，……………………….5分
又平面ABEF，所以平面ABEF平面BCDE；…6分
（2）连接AE、CE,则AG为三棱锥的高，GC为
的高．在正六边形ABCDEF中，，
故，…………..9分
所以 ．……12分
18. 解（1）∵甲组同学的平均分是85，
∴. ∴x=5. ………………………………1分
∵乙组同学成果的中位数是83， ∴y=3. …………………………………… 2分
（2）甲组7位同学成果的方差为：
……………………………………5分
（3）甲组成果在90分以上的同学有两名，分别记为A，B，
乙组成果在90分以上的同学有三名，分别记为C，D，E. ……………………6分
从这五名同学任意抽取两名同学共有10种状况：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)……………………9分
其中甲组至少有一名同学共有7种状况：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E) ……………………………………11分
记“从成果在90分以上的同学中随机抽取两名同学，甲组至少有一名同学”为大事M，
则.…………………………………………………………………………12分
19. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，
a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n…………3分
（2），① ②
②－①得，，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
又当n=1时，b1=8，
所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分
（3）＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，…………………8分
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，
① －②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1
∴， ……………………………………….10分
∴数列{cn}的前n项和．. ……12分
20. 解：（1）依题意，知的定义域为，
当时，，
………………………………………….2分
令，解得或（舍去），
当时，；当时，，
所以的单调增区间为，减区间为；…………….4分
（2）由题意知，则有在(0,3)上恒成立，所以，当x0=1时，取得最大值，
所以；………………………………………………………………………………8分
（3）当时，，
由，得，又，所以，
要使方程在区间上有唯一实数解，
只需有唯一实数解，……………………………………………10分
令，∴，由得；，得，
∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.
，故 . ……………………13分
21. 解：（1）椭圆过点，离心率为，∴，又，
椭圆C的方程： ； …….5分
（2）由（1）知，①当l的倾斜角是时，l的方程为，
交点，此时,不合题意. ….7分
②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k,则其直线方程为，
由消去y得：，……….……….9分
设，则，………………10分
， ……………………...12分
又已知,
解得，
故直线l的方程为，即或 ． ………….14分
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