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青岛市高三统一质量检测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
留意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设为虚数单位，复数等于
A． B． C． D．
2．设全集，集合，则
A． B． C． D．
第3题图
7
9
8
6
7
4
4
4
9
3
3．在“魅力青岛中同学歌手大赛”竞赛现场上七位评委为某选手打
出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所
剩数据的平均数和方差分别为
第5题图
正视图 侧视图
俯视图
A．和 B．和 C．和 D．和
4．“”是“数列为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则
正视图中的的值是
A． B． C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线方程为
A． B． C． D．
7．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．函数(为自然对数的底数)的图象可能是
A B C D
9．对于函数，下列说法正确的是
A．函数图象关于点对称
B．函数图象关于直线对称
C．将它的图象向左平移 个单位，得到的图象
D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象
第10题图
10．已知点是的外心，是三个单位向量，且，
如图所示，的顶点分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动，
是坐标原点，则的最大值为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
第12题图
结束
输出
是
否
开头
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数，若，
则 ;
12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;
13．设，则二项式开放
式中的第项的系数为 ;
14．若目标函数在约束条件下当且仅当在点处取得最小值，则实数的取值范围是 ;
15．若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.
则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合:
① ; ② ;
③ ; ④ .
其中是集合上的一个拓扑的集合的全部序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
设的内角所对的边分别为，已知，.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的面积.
17．（本小题满分12分）
某高校预备在开学时进行一次高校一班级同学座谈会，拟邀请名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的同学参与，各学院邀请的同学数如下表所示：
学院
机械工程学院
海洋学院
医学院
经济学院
人数
（Ⅰ）从这名同学中随机选出名同学发言，求这名同学中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这名同学中随机选出名同学发言，设来自医学院的同学数为，求随机变量的概率分布列和数学期望.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，侧棱底面 ，底面是直角梯形，，， ，，为中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求平面和平面所成角（锐角）的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和.
20．（本小题满分13分）
已知椭圆与直线相交于、两不同点，且直线与圆相切于点(为坐标原点).
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，求实数的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数，，.
（Ⅰ）若函数的图象在原点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
（Ⅱ）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若对于，总存在，且满，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围.
理科答案
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．
D A B C D A C A B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 12. 13. 14． 15．②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） …………………………2分
………………………………5分
， ………………………………………………………6分
（Ⅱ）由，，，得 ……………………………7分
由得，从而， …………………………………………9分
故 …………………10分
所以的面积为. ……………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）从名同学随机选出名的方法数为，选出人中任意两个均不属于同一学院的方法数为 ……………………4分
所以 …………………6分
（Ⅱ）可能的取值为
…………10分
所以的分布列为
所以……………………………………12分
18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结交于，
由于为四棱柱，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为中点，所以为的中位线，
从而 ……………………………………4分
又由于平面，平面，
所以平面． …………………………5分
（Ⅱ）由于底面，面，面，
所以又，所以两两垂直. ……………6分
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，.
从而，.
由于，所以，解得. ……………………8分
所以，.
设是平面的一个法向量，则即
令，则. …………………………………………………………9分
又，.
设是平面的一个法向量，则即
令，则. ………………………………………………………10分
平面和平面所成角（锐角）的余弦值. ……………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设的公差为，
则
解得，所以 ………………………………………………………3分
所以 …… ①
当
……②
①②两式相除得
由于当适合上式，所以………………………………6分
（Ⅱ）由已知，
得
则
………………………7分
当为偶数时，
………………………………………………………………9分
当为奇数时，
……………………………………………………………11分
综上：… ………………………………………………………12分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由于直线与圆相切
所以圆的圆心到直线的距离，从而…2分
由 可得：
设，
则， …………………………………………………4分
所以
所以 ………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）直线与圆相切于，
………………………………8分
由（Ⅰ）知，
，即
从而，即
……………………………………………………………12分
由于，所以 ………………………………………………13分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）原函数定义域为，，则
，， ………………………………………………………2分
由
与函数的图象相切，………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题,
令,
由于对恒成立，
所以，即在上为增函数 ………………………………6分
在上单调递减
对恒成立，即
…………………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）当时，
在区间上为增函数，
时， …………………………………………………………………………10分
的对称轴为：，为满足题意，必需……11分
此时，的值恒小于和中最大的一个
对于，总存在，且满足，
…………………………………………………13分
……………………………………………………………………14分
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
（1）
（2）
17、（本小题满分12分）
（1）
（2）
18、（本小题满分12分）
（1）
（2）
19、（本小题满分12分）
（1）
（2）
20、（本小题满分13分）
（1）
（2）
21、（本小题满分14分）
（1）
（2）
请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）
（1）
（2）
23、（本小题满分10分）
（1）
（2）
24、（本小题满分10分）
（1）
（2）
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