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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c( )
A．肯定平行
B．肯定相交
C．肯定是异面直线
D．平行、相交或异面都有可能
解析 当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．
答案 D
2．如图是某个正方体的侧面开放图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2( )
A．相互平行
B．异面且相互垂直
C．异面且夹角为
D．相交且夹角为
解析 将侧面开放图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连接AD，则△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.故选D.
答案 D
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析 A选项，l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面；B选项正确；C选项l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3既可能共面，也可能异面；D选项，如长方体共顶点的三条棱为l1，l2，l3，但这三条直线不共面．
答案 B
4．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由条件知，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．
答案 C
5．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α、β的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
答案 D
6．(2021·淮安模拟)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 分别取AB，AA1，A1C1的中点D，E，F，
则BA1∥DE，AC1∥EF.
所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，
设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝，DF＝，
由余弦定理得，
cos∠DEF＝＝－，
则∠DEF＝120°，从而异面直线BA1与AC1所成的角为60°.
答案 C
二、填空题
7．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①P∈a，P∈α⇒a⊂α
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
解析
当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
答案 ③④
8．在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)．
解析 对于①可举反例，如AB∥CD，A，B，C，D没有三点共线，但A，B，C，D共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.
答案 ②
9．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列推断：①MN≥(AC＋BD)；②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD)．
其中正确的是________．
解析 如图，取BC的中点O，连接MO，NO，
则MO＝AC，ON＝BD，
在△MON中，MN<OM＋ON＝(AC＋BD)，∴④正确．
答案 ④
三、解答题
10．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明 (1)如图所示，由于EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
由于Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点．
同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
11．(2022·湖南卷)
如图，已知二面角α－MN－β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.
(1)证明：AB⊥平面ODE；
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
解 (1)证明：如图，由于DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.
连接BD，由题设知，△ABD是正三角形．
又E是AB的中点，所以DE⊥AB.
而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.
(2)由于BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．
由(1)知，AB⊥面ODE，所以AB⊥OE.
又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α—MN—β的平面角，从而∠DEO＝60°.
不妨设AB＝2，则AD＝2.易知DE＝.
在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝.
连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝＝.
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.
1．如图是三棱锥D—ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得如图的直观图，从A动身的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝，在直角三角形DAO中可以求得DO＝.在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝＝，故所求余弦值为.
答案 A
2．如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线．其中叙述正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①④ D．①②
解析 依据图形，AB与CD互为异面直线，故①正确；当F点与D重合时，B，F，C，H四点共面，FH与DC，DB不为异面直线，故②错误；由于EG与FH不行能共面(否则A，B，C，D四点共面)，所以EG与FH互为异面直线，故③正确；当G与B重合时，AB与EG为共面直线，故④错误．所以应选A.
答案 A
3．在如图所示的棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是________；截得的平面图形中，面积最大的值是________．
解析 截得的三角形中，面积最大的三角形A1C1B，面积为×(2)2＝2.截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为6××()2＝3.
答案 2 3
4．如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．
(1)证明：AD⊥C1E；
(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．
解 (1)证明：由于AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②
由①，②得AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.
(2)由于AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°.
由于∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E.
故C1E＝＝2，
又B1C1＝＝2，
所以B1E＝＝2.
从而V三棱锥C1—A1B1E＝S△A1B1E×A1C1
＝××2××＝.
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