2021高中数学-3.1.3-概率的基本性质-教案(人教A版必修3).docx

3.1.3　概率的基本性质

●三维目标
1．学问与技能
(1)了解随机大事间的基本关系与运算．
(2)理解互斥大事、对立大事的概念．
(3)把握概率的几个基本性质，并会用其解决简洁的概率问题．
2．过程与方法
(1)通过观看、类比、归纳培育同学运用数学学问的综合力气．
(2)通过同学自主探究，合作探究培育同学的动手探究的力气．
3．情感、态度与价值观
通过数学活动，了解教学与实际生活的亲热联系，感受数学学问应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣．
●重点难点
重点：概率的加法公式及其应用；大事的关系与运算．
难点：互斥大事与对立大事的区分与联系．
教学时以掷骰子试验为学问的切入点，从同学原有的认知水平和所需的学问特点入手，引导同学结合学校学习过的概率学问，不断地观看、比较、分析教材中的各个大事的联系与区分，通过小组争辩和探究得到各个大事的特点，老师引导同学分析互斥大事和对立大事的关系化解本节的难点．
引导同学回答所提问题，理解概率的加法公式成立的条件、特征及由概率公式可求解的概率的类型；通过例题与练习让同学在应用概率解决问题的过程中更深化地理解概率及其作用，以强化重点．

课标解读
1.了解大事间的相互关系．
2.理解互斥大事、对立大事的概念．(重点)
3.会用概率加法公式求某些大事的概率．(难点)

大事的关系与运算
【问题导思】　
在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下大事：C1＝{毁灭1点}，C2＝{毁灭2点}，C3＝{毁灭3点}，C4＝{毁灭4点}，C5＝{毁灭5点}，C6＝{毁灭6点}，D1＝{毁灭的点数不大于1}，D2＝{毁灭的点数大于4}，D3＝{毁灭的点数小于6}，E＝{毁灭的点数小于7}，F＝{毁灭的点数大于6}，G＝{毁灭的点数为偶数}，H＝{毁灭的点数为奇数}．
1．假如大事C1发生，则确定有哪些大事发生？反之成立吗？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
【提示】　若C1发生，则确定发生的大事有D1、D3、E、H，反之若D1、D3、E、H分别成立，能推出C1发生的只有D1.从集合的观点看，大事C1是大事D3、E、H的子集，集合C1与集合D1相等．
2．假如大事“C2发生或C4发生或C6发生”，就意味着哪个大事发生？
【提示】　意味着大事G发生．
3．大事D2与大事H同时发生，意味着哪个大事发生？
【提示】　C5发生．
4．大事D3与大事F能同时发生吗？
【提示】　不能．
5．大事G与大事H能同时发生吗？这两个大事有什么关系？
【提示】　大事G与大事H不能同时发生，但必有一个发生．
1．一般地，对于大事A与大事B，假如大事A发生，则大事B确定发生，这时称大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)．
表示法：B⊇A(或A⊆B)．
2．假如大事发生当且仅当大事A或大事B发生，则称此大事为大事A与B的并大事(或和大事)，记为A∪B(或A＋B)．
3．假如某大事发生当且仅当大事A发生且大事B发生，则称此大事为大事A与B的交大事(或积大事)，记为A∩B(或AB)．
4．假如A∩B为不行能大事(A∩B＝∅)，则称大事A与大事
B互斥，即大事A与大事B在任何一次试验中不会同时发生．
5．假如A∩B为不行能大事，A∪B为必定大事，则称大事A与大事B互为对立大事，即大事A与大事B在一次试验中有且仅有一个发生.

概率的性质
1.概率的取值范围为[0,1]．
2．必定大事的概率为1，不行能大事的概率为0.
3．概率加法公式：假如大事A与大事B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特例：若A与B为对立大事，则P(A)＝1－P(B)，
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.

大事关系的推断
　某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记大事A为“只订甲报”，大事B为“至少订一种报”，大事C为“至多订一种报”，大事D为“不订甲报”，大事E为“一种报也不订”．推断下列每对大事是不是互斥大事；假如是，再推断它们是不是对立大事．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；
(5)C与E.
【思路探究】　依据互斥大事、对立大事的定义来推断．
【自主解答】　(1)由于大事C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即大事A与大事C有可能同时发生，故A与C不是互斥大事；
(2)大事B“至少订一种报”与大事E“一种报也不订”是不行能同时发生的，故B与E是互斥大事．由于大事B发生可导致大事E确定不发生，且大事E发生会导致大事B确定不发生，故B与E还是对立大事；
(3)大事B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即大事B发生，大事D也可能发生，故B与D不是互斥大事；
(4)大事B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，大事C“至多订一种报”中有这些可能：“什么报也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个大事可能同时发生，故B与C不是互斥大事；
(5)由(4)的分析，大事E“一种报也不订”只是大事C的一种可能，故大事C与大事E有可能同时发生，故C与E不是互斥大事．

推断互斥大事和对立大事时，主要用定义来推断．当两个大事不能同时发生时，这两个大事是互斥大事；当两个大事不能同时发生且必有一个发生时，这两个大事是对立大事．

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10)中任取一张．推断下列每对大事是否为互斥大事，是否为对立大事，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
【解】　(1)互斥大事，不是对立大事．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥大事．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，所以二者不是对立大事．
(2)既是互斥大事，又是对立大事．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个大事不行能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥大事，又是对立大事．
(3)不是互斥大事，当然也不行能是对立大事．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个大事可能同时发生，如抽得点数为10，所以二者不是互斥大事，当然也不行能是对立大事.

大事的运算
　在某高校数学系图书室中任选一本书，设A＝{数学书}，B＝{中文版的}，C＝{2000年后出版的}，问：
(1)A∩B∩表示什么大事？
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?
(3)⊆B表示什么意思？
(4)若＝B，是否意味着图书馆中全部的数学书都不是中文版的？
【思路探究】　本题主要考查大事的关系与运算，解题关键是弄清大事的关系及运算的含义．
【自主解答】　(1)A∩B∩＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}．
(2)在“图书室中全部数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.
(3)⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的．
(4)是.＝B意味着图书室中非数学书都是中文版的，而且全部的中文版的书都不是数学书．

1．大事间的运算：

2．进行大事的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能毁灭的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．

掷一枚骰子，下列大事：
A＝{毁灭奇数点}，B＝{毁灭偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记是大事H的对立大事，求，C，∪C，＋.
【解】　(1)A∩B＝∅，BC＝{毁灭2点}．
(2)A∪B＝{毁灭1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{毁灭1,2,4或6点}．
(3)＝{点数小于或等于2}＝{毁灭1或2点}，
C＝BC＝{毁灭2点}，
∪C＝A∪C＝{毁灭1,2,3或5点}，
＋＝{毁灭1,2,4或5点}.

互斥大事与对立大事的概率
　某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．
【思路探究】　先设出大事，推断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．
【自主解答】　(1)设“射中10环”为大事A，“射中7环”为大事B，由于在一次射击中，A与B不行能同时发生，故A与B是互斥大事．“射中10环或7环”的大事为A∪B.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种状况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两大事必有一个发生，另一个不发生，故是对立大事，可用对立大事的方法处理．
设“不够7环”为大事E，则大事为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥大事，
∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
∴不够7环的概率是0.03.

1．对于一个较简洁的大事，一般将其分解成几个简洁的大事，当这些大事彼此互斥时，原大事的概率等于这些大事概率的和．并且互斥大事的概率加法公式可以推广为：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．其使用的前提条件照旧是A1，A2，…，An彼此互斥．故解决此类题目的关键在于分解大事及确立大事是否互斥．
2．“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应留意把握，如本例中的第(2)问，直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立大事的概率，再转化为所求．

玻璃盒子中装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球．设大事A为“取出1个红球”，大事B为“取出1个黑球”，大事C为“取出1个白球”，大事D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.求：
(1)“取出1球为红或黑”的概率；
(2)“取出1球为红或黑或白”的概率．
【解】　法一　大事A，B，C，D彼此为互斥大事．
(1)“取出1球为红或黑”的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1球为红或黑或白”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
法二　(1)“取出1球为红或黑”的对立大事为“取出1球为白或绿”，即A∪B的对立大事为C∪D，
所以P(A∪B)＝1－P(C∪D)＝1－P(C)－P(D)＝1－－＝.
(2)A∪B∪C的对立大事为D，所以P(A∪B∪C)＝1－P(D)＝1－＝.

不能区分大事是否互斥而毁灭错误
　掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面毁灭1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为，记大事A为“毁灭奇数”，大事B为“向上的数不超过3”，求P(A∪B)．
【错解】　P(A)＝×3＝，
P(B)＝×3＝，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.
【错因分析】　大事A与大事B不是互斥大事，不能应用概率的加法公式．
【防范措施】　1.明确概率的加法公式使用的条件．
2．把握互斥大事的特点，分清大事是否为互斥大事．
【正解】　记大事“毁灭1点”，“毁灭2点”，“毁灭3点”，“毁灭5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个大事彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.

1．要留意互斥大事与对立大事的区分与联系：互斥大事是指大事A与大事B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)大事A发生且大事B不发生；(2)大事A不发生且大事B发生；(3)大事A与大事B同时不发生．而对立大事是指大事A与大事B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①大事A发生且大事B不发生；②大事B发生且大事A不发生，对立大事是互斥大事的特殊情形．
2．关于概率的加法公式：
(1)使用条件：A、B互斥．
(2)推广：若大事A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(3)在求某些简洁的大事的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的大事化整为零，化难为易．

1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么大事“甲分得红牌”与大事“乙分得红牌”是(　　)
A．对立大事　　　 B．互斥但不对立大事
C．必定大事 D．不行能大事
【解析】　“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，故它们是互斥大事，又甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”大事可能不发生．∴它们不是对立大事．
【答案】　B
2．从4名男生和2名女生中任选3人去参与演讲竞赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
【解析】　设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立大事，∴P(B)＝1－P(A)＝.
【答案】　
3．在掷骰子的玩耍中，向上的数字为5或6的概率为____．
【解析】　记大事A为“向上的数字为5”，大事B为“向上的点数为6”，则A与B互斥．
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝×2＝.
【答案】　
4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设大事A＝{3个球中有1个红球2个白球}，大事B＝{3个球中有2个红球1个白球}，大事C＝{3个球中至少有1个红球}，大事D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)大事D与A、B是什么样的运算关系？
(2)大事C与A的交大事是什么大事？
【解】　(1)对于大事D，可能的结果为“1个红球2个白球”，或“2个红球1个白球”，故D＝A∪B.
(2)对于大事C，可能的结果为“1个红球2个白球”，“2个红球1个白球”，“三个均为红球”，故C∩A＝A.

一、选择题
1．(2022·西安高一检测)假如大事A，B互斥，记，分别为大事A，B的对立大事，那么(　　)
A．A∪B是必定大事　　　　　B.∪是必定大事
C.与确定互斥 D.与确定不互斥
【解析】　用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必定大事．
【答案】　B
2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是(　　)
A．A与C互斥 B．任何两个均互斥
C．B与C互斥 D．任何两个均不互斥
【解析】　∵从一批产品中取出三件产品包含4个基本大事．
D1＝{没有次品}，D2＝{1件次品}，D3＝{2件次品}，D4＝{3件次品}，
∴A＝D1，B＝D4，C＝D2∪D3∪D4，故A与C互斥，A与B互斥，B与C不互斥．
【答案】　A
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A．60% B．30% C．10% D．50%
【解析】　设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A、C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.
【答案】　D
4．下列说法中正确的是(　　)
A．大事A、B中至少有一个发生的概率确定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．大事A、B同时发生的概率确定比大事A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥大事确定是对立大事，但对立大事不愿定是互斥大事
D．互斥大事不愿定是对立大事，但对立大事确定是互斥大事
【解析】　当大事A、B都为必定大事或都为不行能大事时，大事A、B至少有一个发生的概率等于大事A、B恰有一个发生的概率，大事A、B同时发生的概率也等于大事A、B恰有一个发生的概率，故选项A、B都是错误的；互斥大事不愿定是对立大事，但对立大事确定是互斥大事，这一点由互斥大事与对立大事的概念可知．
【答案】　D
5．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3,4，…，11,12中的一个，记大事A为“点数之和是2,4,7,12”，大事B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，大事C为“点数之和大于8”，则大事“点数之和为2或4”可记为(　　)
A．A∩B B．A∩B∩C
C．A∩B∩ D．A∩B∪
【解析】　∵大事A＝{2,4,7,12}，大事B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝{2,4,12}，
又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩＝{2,4}．
【答案】　C
二、填空题
6．一个人打靶时连续射击两次，大事“至少有一次中靶”的互斥大事是________．
【解析】　连续射击两次有以下四种状况：第一次中其次次不中，第一次不中其次次中，两次都中和两次都不中．故“至少一次中靶”的互斥大事为“两次都不中靶”．
【答案】　“两次都不中靶”
7．同时抛掷两枚骰子，既不毁灭5点也不毁灭6点的概率为，则5点或6点至少毁灭一个的概率是________．
【解析】　记既没有5点也没有6点的大事为A，则P(A)＝，5点或6点至少有一个的大事为B.
因A∩B＝∅，A∪B为必定大事，故A与B为对立大事，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
【答案】　
8．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，摸出红球的概率为________．
【解析】　由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立大事，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”为对立大事，P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设大事E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
【答案】　0.2
三、解答题
9．由阅历得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多有2人排队的概率是多少？
(2)至少有2人排队的概率是多少？
【解】　设商场付款处排队等候付款的人数为0,1,2,3,4及5人以上的大事依次为A0，A1，A2，A3，A4，A5且彼此互斥．
(1)P(至多有2人排队)＝P(A0∪A1∪A2)＝P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)P(至少有2人排队)＝P(A2∪A3∪A4∪A5)＝P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.
10．在20 000张福利彩票中，设有特等奖1名，一等奖3名，二等奖5名，三等奖10名，从中买1张彩票．
(1)求获得二等奖或三等奖的概率；
(2)求不中奖的概率．
【解】　设P(A)、P(B)、P(C)、P(D)分别表示获得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖的概率，
由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，
P(D)＝＝.
(1)P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝.
(2)P(不中奖)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－＝1－＝.
11．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【解】　从袋中任取1球，记大事A＝{取到红球}，大事B＝{取到黑球}，大事C＝{取到黄球}，大事D＝{取到绿球}，则有

解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
所以取到黑球的概率为，取到黄球的概率为，取到绿球的概率为.