资源描述
3.1.3 概率的基本性质
选题明细表
知识点、方法
题号
事件的关系及运算
1,2,3,6,7,9
互斥事件和对立事件的概率
5,8,10
概率的应用
4,11,12,13
基础巩固
1.若A,B是互斥事件,则( D )
(A)P(A∪B)<1 (B)P(A∪B)=1
(C)P(A∪B)>1 (D)P(A∪B)≤1
解析:因为A,B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1(当A,B对立时,P(A∪B)=1).故选D.
2.从一批产品中取出三件产品,设事件A为“三件产品全不是次品”,事件B为“三件产品全是次品”,事件C为“三件产品有次品,但不全是次品”,则下列结论中错误的是( D )
(A)A与C互斥 (B)B与C互斥
(C)任何两个都互斥 (D)任何两个都不互斥
解析:由题意知事件A,B,C两两不可能同时发生,因此两两互斥.故
选D.
3.(2019·大同高一检测)给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为( C )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:对立必互斥,互斥不一定对立,所以②③正确,①错;当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),所以④错;只有A与B为对立事件时,才有P(A)=
1-P(B),所以⑤错.故正确的命题有2个,选C.
4.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:该子集恰是{a,b,c}的子集的概率为P=1-=.
5.某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”,根据数学成绩从某班学生中任意找出一人,如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2,在[90,120]之间的概率为0.5,那么该同学的数学成绩超过
120分的概率为( B )
(A)0.2 (B)0.3 (C)0.7 (D)0.8
解析:该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件,而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120]之间(事件D)两事件的和事件,即P(A)=1-P(B)=1-
[P(C)+P(D)]=1-(0.2+0.5)=0.3.
6.从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为,那么所选3人中都是男生的概率为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:设A={3人中至少有1名女生},B={3人都为男生},则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=.
7.一箱产品有正品4件、次品3件,从中任取2件,以下事件:
①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”;
②“至少有1件次品”和“都是次品”;
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”;
④“至少有1件次品”和“都是正品”.
其中互斥事件有 组.
解析:①是互斥事件;②可能同时发生,因此两事件不是互斥事件;③可能同时发生,不是互斥事件;④是互斥事件.故互斥事件有2组.
答案:2
8.某产品分一、二、三级,其中一、二级是正品.若生产中出现正品的概率是0.98,出现二级品的概率是0.21,则出现一级品与三级品的概率分别是 .
解析:出现一级品的概率为0.98-0.21=0.77;
出现三级品的概率为1-0.98=0.02.
答案:0.77,0.02
能力提升
9.如果事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么( B )
(A)A∪B是必然事件
(B)∪是必然事件
(C)与一定互斥
(D)与一定对立
解析:用Venn图解决此类问题较为直观,如图所示,∪是必然事件,故选B.
10.(2019·太原高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是,记事件A为“出现奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)= .
解析:记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥,则A∪B=A1∪A2∪
A3∪A4,故P(A∪B)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=
+++=.
答案:
11.某商场有奖销售中,购满100元商品得一张奖券,多购多得.每1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖
50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,
C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)抽取1张奖券中奖概率;
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
解:(1)因为每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,所以P(A)=,P(B)==,
P(C)==.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则
P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E,则P(E)=1-P(A)-P(B)=1--=.
12.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表所示:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少?
(2)至少3人排队等候的概率是多少?
解:记“有i人排队等候”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),“有5人及5人以上排队等候”为事件B,
则A0,A1,A2,A3,A4及B是互斥事件,且P(A0)=0.1,
P(A1)=0.16,P(A2)=0.3,P(A3)=0.3,
P(A4)=0.1,P(B)=0.04.
(1)至多2人排队等候的概率为
P=P(A0∪A1∪A2)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)至少3人排队等候的概率为
P=1-P(A0∪A1∪A2)=1-0.56=0.44.
探究创新
13.某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:
年降水
量(mm)
(0,
200]
(200,
250]
(250,
300]
(300,
350]
(350,
400]
概率
0.27
0.3
0.21
0.14
0.08
求:(1)年降水量在(200,300](mm)范围内的概率;
(2)年降水量在(250,400](mm)范围内的概率;
(3)年降水量不大于350 mm的概率.
解:(1)设事件A={年降水量在(200,300](mm)范围内},
它包含事件B={年降水量在(200,250](mm)范围内}和事件C={年降水量在(250,300](mm)范围内}两个事件.
因为B,C这两个事件不能同时发生,所以它们是互斥事件,
所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C),
由已知得P(B)=0.3,P(C)=0.21,
所以P(A)=0.3+0.21=0.51.
即年降水量在(200,300](mm)范围内的概率为0.51.
(2)设事件D={年降水量在(250,400](mm)范围内},
它包含事件C={年降水量在(250,300](mm)范围内}、事件E={年降水量在(300,350](mm)范围内}、事件F={年降水量在(350,400](mm)范围内}三个事件,
因为C,E,F这三个事件不能同时发生,所以它们彼此是互斥事件,
所以P(D)=P(C∪E∪F)=P(C)+P(E)+P(F),
由已知得P(C)=0.21,P(E)=0.14,P(F)=0.08,
所以P(D)=0.21+0.14+0.08=0.43.
即年降水量在(250,400](mm)范围内的概率为0.43.
(3)设事件G={年降水量不大于350 mm},
其对立事件是“年降水量在350 mm以上”,即事件F,
所以P(G)=1-P(F)=1-0.08=0.92.
即年降水量不大于350 mm的概率为0.92.
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