2022版人教A版高中数学必修四导练课时作业：3.2-简单的三角恒等变换-Word版含解析.doc

3.2　简单的三角恒等变换

选题明细表
知识点、方法
题号
半角公式及应用
1,2,4
化简求值、证明问题
5,6,8,9
与三角函数性质有关问题
3,7,10,12
三角函数在实际问题中的应用
11,13
基础巩固
1.设π<θ<π,cos θ=a,则sin等于(　B　)
(A) (B)
(C)- (D)-
解析:因为π<θ<π,所以<<π,所以sin>0,所以sin==.故选B.
2.(2018·丹东市期末)已知tan 60°=m,则cos 120°的值是(　B　)
(A) (B)
(C) (D)-
解析:因为tan 60°=m,
则cos 120°====.
3.若cos α=-,α是第三象限的角,则等于(　A　)
(A)- (B) (C)2 (D)-2
解析:因为α是第三象限角,cos α=-,
所以sin α=-.
所以===·===-.
4.+2的化简结果是(　A　)
(A)2cos 4-4sin 4 (B)2sin 4
(C)2sin 4-4cos 4 (D)-2sin 4
解析:原式=+2=×+2
=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|.
因为sin 4<0,sin 4<cos 4,
所以原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4.
5.(2018·台州市期末)设a=2sincos,b=cos25°-sin25°,c=,则(　C　)
(A)a<b<c (B)b<c<a
(C)c<a<b (D)a<c<b
解析:因为a=2sincos=sin=sin 72°=cos 18°,
b=cos25°-sin25°=cos 10°,
c==tan 60°==cos 30°,
而y=cos x在(0,π)上为减函数,
所以c<a<b.
6.化简的结果为　　　　. 
解析:=
==|sin 1+cos 1|.
又0<1<,所以原式=sin 1+cos 1.
答案:sin 1+cos 1
7.(2018·沈阳市期末)函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1的最小正周期为　　　　. 
解析:y=cos2(x-)+sin2(x+)-1
=+-1
=
=sin 2x,
所以T==π.
答案:π
8.化简sin2x(-tan)+cos 2x.
解:原式=sin2x(-)+cos 2x
=sin2x·+cos 2x
=sin2x·+cos 2x
=sin 2x+cos 2x
=sin(2x+).
能力提升
9.(2018·武汉市期末)已知α,β∈(0,)且3sin β=sin (2α+β),4tan=1-tan2,则α+β的值为(　B　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为α,β∈(0,),且3sin β=sin (2α+β),
所以3sin [(α+β)-α]=sin [(α+β)+α],
即3sin (α+β)cos α-3cos (α+β)sin α=sin (α+β)cos α+cos (α+β)sin α,
化简可得2sin (α+β)cos α=4cos (α+β)sin α,
故有tan (α+β)=2tan α.
再根据4tan=1-tan2,
可得tan α==,
所以tan (α+β)=2tan α=1.
再根据α+β∈(0,π),
可得α+β=.
10.已知a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(-x)满足f(-)=f(0),当x∈[,]时,则f(x)的值域为(　D　)
(A)[1,2] (B)[,]
(C)[,2] (D)[,2]
解析:由题意得,
f(x)=sin 2x-+
=sin 2x-cos 2x.
又f(-)=f(0),
所以a=2,
所以f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),
所以当x∈[,π]时,2x-∈[,π],f(x)∈[,2].故选D.
11.在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于　　　　. 

解析:由题意知,
5cos θ-5sin θ=1,θ∈(0,).
所以cos θ-sin θ=.
由(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2.
所以cos θ+sin θ=.
所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.
答案:
12.(2018·四平市模拟)已知函数f(x)=cos(2x-)+sin2x-cos2x+.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若存在t∈[,]满足[f(t)]2-2f(t)-m>0,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意得,f(x)=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x+
=cos 2x+sin 2x-cos 2x+
=sin(2x-)+,
所以函数f(x)的最小正周期T=π.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为
[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)当t∈[,]时,可得2t-∈[0,],
解得f(t)=sin(2t-)+∈[,+1]⇒F(t)=[f(t)]2-2f(t)=[f(t)-]2-2∈[-2,-1].
存在t∈[,],满足F(t)-m>0的实数m的取值范围为(-∞,-1).
探究创新
13.点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,
∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?
解:如图,连接PB.

因为AB为圆的直径,
所以∠APB=90°,
因为∠PAB=α,AB=1,
所以PB=sin α,PA=cos α.
又PT切圆于P点,则∠TPB=∠PAB=α.
所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB
=PA·PB+PT·PB·sin α
=sin α·cos α+sin2α.
=sin 2α+(1-cos 2α).
=sin(2α-)+.
因为0<α<,-<2α-<π,
所以当2α-=,即α=π时,四边形ABTP的面积最大.