资源描述
1．(2021·青岛模拟)设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：≤，则p是q成立的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当p成立的时候，q确定成立，但当q成立的时候，p不愿定成立，所以p是q的充分不必要条件．
2．(2021·上海黄浦模拟)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D．a2＋b2>2ab
解析：选C.当a，b都是负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当a＝b时，D不成立，因此只有选项C是正确的．
3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D.∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.
4．(2021·湖北黄冈模拟)设a>1，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．6
C．4 D．2
解析：选A.由a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1.
由于a>1，b>0，所以＋＝(a－1＋b)＝＋＋3≥2＋3.
当且仅当＝，即a＝，b＝2－时取等号．
5．(2021·山东青岛质检)在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a∈R，a*0＝a；
(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
则函数f(x)＝(ex)*的最小值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：选B.依题意可得f(x)＝(ex)*＝ex＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝0时“＝”成立，所以函数f(x)＝(ex)*的最小值为3，故选B.
6．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为________．
解析：由已知a4a14＝(2)2＝8.
再由等比数列的性质有a4a14＝a7a11＝8.
又∵a7>0，a11>0，
∴2a7＋a11≥2＝8.
当且仅当2a7＝a11时等号成立．
答案：8
7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
8．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
解析：依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.
答案：20
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵0<x<2，
∴2－x>0，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
1．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C.依据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<，∵＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2<x<1，所以x的取值范围是(－2，1)．故选C.
2．(2021·高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．3
解析：选B.z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，
∴＝＝≤＝1.
当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴＋－＝＋－＝－＋＝－＋1，∴当y＝1时，＋－的最大值为1.
3．(2021·云南统一检测)已知a>0，b>0，方程为x2＋y2－4x＋2y＝0的曲线关于直线ax－by－1＝0对称，则的最小值为________．
解析：该曲线表示以(2，－1)为圆心的圆，由题意知直线ax－by－1＝0经过圆心(2，－1)，则2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1，所以＝＋＝(2a＋b)＝＋＋7≥2＋7＝4＋7(当且仅当a＝2－，b＝2－3时等号成立)．
答案：4＋7
4．(2022·高考湖北卷)某项争辩表明：在考虑行车平安的状况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)假如不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；
(2)假如限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．
解析：(1)当l＝6.05时，F＝＝≤＝＝1 900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．
(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2 000.当且仅当v＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．
答案：(1)1 900 (2)100
5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
解：(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴＋＝·＝≥
＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
6．(选做题)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，接受了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？假如获利，求出最大利润；假如不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，由于x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
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