2022高三一轮复习学案(理数)(人教)第七章-立体几何与空间向量-第4课时-直线、平面的平行和垂直.docx

第4课时　直线、平面的平行和垂直
考纲索引
1. 直线与平面平行、垂直.
2. 平面与平面平行、垂直.
课标要求
1. 以立体几何的定义、公理和定理为动身点,生疏和理解空间中线面平行、垂直的有关性质和判定定理.
2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行、垂直关系的简洁命题.
学问梳理
1. 直线与平面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形
a　　　 
b　　　 
a　　　 

条件

结论

a∩α=　　　 

2. 面面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形

条件

结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
3. 直线与平面垂直
定义:假如直线l与平面α的　　　　直线都垂直,则直线l与此平面α垂直. 
(1)判定直线和平面垂直的方法:
①定义法.
②利用判定定理:假如一条直线与平面内的两条　　　　直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 
③推论:假如在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也　　　　这个平面. 
(2)直线和平面垂直的性质:
①直线垂直于平面,则垂直于平面内　　　　直线. 
②垂直于同一个平面的两条直线　　　　. 
③垂直于同始终线的两平面　　　　. 
4. 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法:
①定义法.
②利用判定定理:假如一个平面过另一个平面的　　　　,则这两个平面相互垂直. 
(2)平面与平面垂直的性质:
假如两平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们　　　　的直线垂直于另一个平面. 
基础自测
1. (教材改编)下列条件中,能判定直线l⊥平面α的是(　　).
A. l与平面α内的两条直线垂直
B. l与平面α内很多条直线垂直
C. l与平面α内的某一条直线垂直
D. l与平面α内任意一条直线垂直
2. 设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是(　　).
A. a⊥c,b⊥c　　　　　　　B. α⊥β,b⊂β
C. α⊥a,b∥α D. a⊥α,b⊥α
3. (教材改编)给出下列四个命题:
①垂直于同一平面的两条直线相互平行;
②垂直于同一平面的两个平面相互平行;
③若一个平面内有很多条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
④若一条直线垂直于一个平面内的任始终线,那么这条直线垂直于这个平面.
其中真命题的个数是(　　).
A. 1　　　　B. 2　　　　C. 3　　　　D. 4
4. (课本精选题)已知不重合的直线a,b和平面α.
①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b⊂α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α.
上面命题中正确的是　　　　.(填序号) 
5. (课本改编)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.
(1)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是边AB的　　　　点. 
(2)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　　　　心. 
(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的　　　　心. 
指 点 迷 津　
1. 判定定理或性质定理使用时,条件要完备.如:证明b∥α时,不要忽视b⊄α;用线面平行的性质定理时,不要忽视α∩β=b等.
2. 六个平行转化关系:

3. 六种转化关系:

考点透析
考向一　直线与平面平行的判定与性质
例1　(2022·安徽)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.

(1)求证:GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
【审题视点】　利用BC∥平面GEFH,可证得GH∥BC,即可证出GH∥BC.再由PO∥平面GEFH,可证得GK是梯形GEFH的高,由此可求得四边形GEFH的面积.

变式训练
1. 如图,在四周体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证:
(1)DE∥平面BCP;
(2)四边形DEFG为矩形.

(第1题)

考向二　平面与平面平行的判定与性质
例2　(2021·山东高考名校联考信息优化卷)如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE.

(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;
(2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平行α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形的面积与△ABC的面积之比.
【审题视点】　平面翻折后可得AD⊥平面BCDE.依据α∥平面ABC得出交线位置,可求面积之比.

变式训练
2. 如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.求证:
(1)E,B,F,D1四点共面;
(2)平面A1GH∥平面BED1F.

(第2题)
考向三　　直线与平面垂直的判定与性质
例3　(2021·东北三校联考)如图,在四周体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)求三棱锥E-ADC的体积.

【审题视点】　BD⊥AO,BD⊥CO➝BD⊥平面AOC➝BD⊥AC,AO⊥CO,AO⊥BD➝AO⊥平面BDC➝VE-ADC.

变式训练
3. (2022·重庆)在如图所示四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.
(1)求证:BC⊥平面POM;
(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.

(第3题)

考向四　　平面与平面垂直的判定与性质
例4　(2021·烟台四校达标检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.
(1)求证:平面PAC⊥平面BDD1;
(2)求证:PB1⊥平面PAC.

【审题视点】　(1)利用AC⊥面BDD1;
(2)利用计算关系PB1⊥PC,PB1⊥PA.

【方法总结】　面面垂直的关键是线面垂直.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要留意“平面内的直线”.
变式训练
4. (2021·海滨区期末练习)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O.
(1)若AC⊥PD,求证:AC⊥平面PBD;
(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:PB=PD.

(第4题)

考向五　　平行与垂直的综合应用
例5　(2021·济南两所名校模拟)如图(1),在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,如图(2),沿AB将四边形AB-CD折起,使得平面AB-CD与平面ABE垂直,M为CE的中点.

(1)

(2)

(1)求证:AM⊥BE;
(2)求三棱锥C -BED的体积.
【审题视点】　取BE中点N,MN∥BC∥DA⇒MN⊥平面ABE⇒BE⊥平面AMN⇒AM⊥BE.

【方法总结】　平行与垂直之间的转化常用结论:
①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;
②a∥b,a∥α⇒b⊥a;
③a∥β,a∥α⇒a⊥β;
④a⊥α,b∥α⇒a∥b.
变式训练
5. 如图,在四周体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB、BD的中点.求证:
(1)直线EF∥平面ACD;
(2)平面EFC⊥平面BCD.

(第5题)

经典考题
典例　(2022·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.

(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥E-ABC的体积.
【解题指南】　(1)证明BB1⊥AB,从而证得平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明四边形FGEC1为平行四边形,进而可证得C1F∥平面ABE.
(3)先计算AB,再求得三棱锥E -ABC的体积.
【解】　(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,
BB1⊥底面ABC,
所以BB1⊥AB.
又AB⊥BC,
所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)如图,取AB的中点G,连接EG,FG.

由于E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,
所以FG∥AC,且.
由于AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1,
所以四边形FGEC1为平行四边形.

真题体验
1. (2022·湖北)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:
(1)直线BC1∥平面EFPQ;
(2)直线AC1⊥平面PQMN.

(第1题)

2. (2022·江苏)如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.

(第2题)

参考答案与解析
学问梳理
3. 任一　(1)相交　垂直于　(2)全部　平行　平行
4. 垂线　交线
基础自测
1. D　2. C　3. B　4.④　5.(1)中　(2)外　(3)垂
考点透析
【例1】　(1)由于BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.
(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
由于PA=PC,O是AC的中点,
所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD内,
所以PO⊥平面ABCD.
又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
由于平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK.所以GK⊥平面ABCD.
又EF⊂平面ABCD,所以GK⊥EF.

变式训练

经典考题
真题体验
1. (1)如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,
知AD1∥BC1.
由于F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.

(第1题)

(2)如图,连接AC,BD,A1C1,则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.
而AC1⊂平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.
由于M,N分别是A1B1,A1D1的中点,
所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.