2022高三一轮复习学案(理数)(人教)第七章-立体几何与空间向量-第4课时-直线、平面的平行和垂直.docx

第4课时直线、平面的平行和垂直考纲索引1. 直线与平面平行、垂直.2. 平面与平面平行、垂直.课标要求1. 以立体几何的定义、公理和定理为动身点,生疏和理解空间中线面平行、垂直的有关性质和判定定理.2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行、垂直关系的简洁命题.学问梳理1. 直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形aba条件结论a=2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件结论aba3. 直线与平面垂直定义:假如直线l与平面的直线都垂直,则直线l与此平面垂直.(1)判定直线和平面垂直的方法:定义法.利用判定定理:假如一条直线与平面内的两条直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.推论:假如在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也这个平面.(2)直线和平面垂直的性质:直线垂直于平面,则垂直于平面内直线.垂直于同一个平面的两条直线.垂直于同始终线的两平面.4. 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法:定义法.利用判定定理:假如一个平面过另一个平面的,则这两个平面相互垂直.(2)平面与平面垂直的性质:假如两平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面.基础自测1. (教材改编)下列条件中,能判定直线l平面的是().A. l与平面内的两条直线垂直B. l与平面内很多条直线垂直C. l与平面内的某一条直线垂直D. l与平面内任意一条直线垂直2. 设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是().A. ac,bcB. ,bC. a,bD. a,b3. (教材改编)给出下列四个命题:垂直于同一平面的两条直线相互平行;垂直于同一平面的两个平面相互平行;若一个平面内有很多条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一条直线垂直于一个平面内的任始终线,那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是().A. 1B. 2C. 3D. 44. (课本精选题)已知不重合的直线a,b和平面.若a,b,则ab;若a,b,则ab;若ab,b,则a;若ab,a,则b或b.上面命题中正确的是.(填序号)5. (课本改编)过ABC所在平面外一点P,作PO,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,C=90,则点O是边AB的点.(2)若PA=PB=PC,则点O是ABC的心.(3)若PAPB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的心.指 点 迷 津1. 判定定理或性质定理使用时,条件要完备.如:证明b时,不要忽视b;用线面平行的性质定理时,不要忽视=b等.2. 六个平行转化关系:3. 六种转化关系:考点透析考向一直线与平面平行的判定与性质例1(2022安徽)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)求证:GHEF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.【审题视点】利用BC平面GEFH,可证得GHBC,即可证出GHBC.再由PO平面GEFH,可证得GK是梯形GEFH的高,由此可求得四边形GEFH的面积.变式训练1. 如图,在四周体PABC中,PCAB,PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证:(1)DE平面BCP;(2)四边形DEFG为矩形.(第1题)考向二平面与平面平行的判定与性质例2(2021山东高考名校联考信息优化卷)如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE平面BCDE得到四棱锥A-BCDE.(1)求证:平面ABC平面ACD;(2)过CD的中点M的平面与平面ABC平行,试求平行与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形的面积与ABC的面积之比.【审题视点】平面翻折后可得AD平面BCDE.依据平面ABC得出交线位置,可求面积之比.变式训练2. 如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.求证:(1)E,B,F,D1四点共面;(2)平面A1GH平面BED1F.(第2题)考向三直线与平面垂直的判定与性质例3(2021东北三校联考)如图,在四周体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2.(1)求证:BDAC;(2)求三棱锥E-ADC的体积.【审题视点】BDAO,BDCOBD平面AOCBDAC,AOCO,AOBDAO平面BDCVE-ADC.变式训练3. (2022重庆)在如图所示四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)求证:BC平面POM;(2)若MPAP,求四棱锥P-ABMO的体积.(第3题)考向四平面与平面垂直的判定与性质例4(2021烟台四校达标检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.(1)求证:平面PAC平面BDD1;(2)求证:PB1平面PAC.【审题视点】(1)利用AC面BDD1;(2)利用计算关系PB1PC,PB1PA.【方法总结】面面垂直的关键是线面垂直.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要留意“平面内的直线”.变式训练4. (2021海滨区期末练习)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,ACBD=O.(1)若ACPD,求证:AC平面PBD;(2)若平面PAC平面ABCD,求证:PB=PD.(第4题)考向五平行与垂直的综合应用例5(2021济南两所名校模拟)如图(1),在梯形BCDE中,BCDE,BADE,且EA=DA=AB=2CB=2,如图(2),沿AB将四边形AB-CD折起,使得平面AB-CD与平面ABE垂直,M为CE的中点.(1)(2)(1)求证:AMBE;(2)求三棱锥C -BED的体积.【审题视点】取BE中点N,MNBCDAMN平面ABEBE平面AMNAMBE.【方法总结】平行与垂直之间的转化常用结论:a,bab;ab,aba;a,aa;a,bab.变式训练5. 如图,在四周体ABCD中,CB=CD,ADBD,点E,F分别是AB、BD的中点.求证:(1)直线EF平面ACD;(2)平面EFC平面BCD.(第5题)经典考题典例(2022北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.【解题指南】(1)证明BB1AB,从而证得平面ABE平面B1BCC1.(2)证明四边形FGEC1为平行四边形,进而可证得C1F平面ABE.(3)先计算AB,再求得三棱锥E -ABC的体积.【解】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)如图,取AB的中点G,连接EG,FG.由于E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,所以FGAC,且.由于ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形.真题体验1. (2022湖北)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1平面EFPQ;(2)直线AC1平面PQMN.(第1题)2. (2022江苏)如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC.(第2题)参考答案与解析学问梳理3. 任一(1)相交垂直于(2)全部平行平行4. 垂线交线基础自测1. D2. C3. B4.5.(1)中(2)外(3)垂考点透析【例1】(1)由于BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证EFBC,因此GHEF.(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.由于PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在平面ABCD内,所以PO平面ABCD.又平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.由于平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK.所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD,所以GKEF. 变式训练 经典考题真题体验1. (1)如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1.由于F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(第1题)(2)如图,连接AC,BD,A1C1,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1A1.而AC1平面ACC1A1,所以BDAC1.由于M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.