专题16.2-二次根式的乘除--八年级数学人教版(下册)培训讲学.doc

专题16.2 二次根式的乘除--八年级数学人教版(下册)

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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除

1．二次根式的乘法法则
（1）一般地，二次根式的乘法法则是：
．
语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．
在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件．
推广：①．
②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；
③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用．
（2）二次根式乘法法则的逆用
．
语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．
公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．
二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用．
推广：．
运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．
利用积的算术平方根的性质化简的步骤：
①将被开方数进行因数分解或因式分解；
②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．
2．二次根式的除法法则
（1）一般地，二次根式的除法法则是：
．
语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．
【注意】①a≥0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义．学-科网
②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．
③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．
（2）二次根式除法法则的逆用

★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可．
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可．
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含__________；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．
K知识参考答案：
1．，不变 2．，相除 3．分母

K—重点
二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断
K—难点
二次根式的乘法法则和除法法则的逆用
K—易错
运算顺序错误；忽视隐含条件
一、二次根式的乘法
1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．
2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．
【例1】下列计算正确的是
A．2×3=6 B．3×3=3
C．4×2=8 D．2×6=12
【答案】D

【例2】化简得
A．144 B．±144 C．±12 D．12
【答案】A
【解析】=．故选A．

二、二次根式的除法
1．；
2．，其中．
【例3】等式成立的条件是
A．a、b同号 B．a≥0，b>0 C．a>0，b>0 D．a>0，b≥0
【答案】B
【解析】由二次根式的非负性可知，a≥0，b≥0，由于b是分母，故b>0．故选B．
【例4】计算的结果为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原式=4x÷=4x×=×3=2×3=6，故选C．
三、二次根式的乘除混合运算
二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．
二次根式乘除混合运算的一般步骤：
（1）将算式中的除法转化为乘法；
（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；
（3）将系数和被开方数分别相乘；
（4）化成最简二次根式．
【例5】计算：于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】．故选A．
四、最简二次根式
判断二次根式是不是最简二次根式的方法：
一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．
二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．
三判断：得出结论．
【例6】下列根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为：A、；B、；
D、，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．

1．下列二次根式中，最简二次根式是
A． B． C． D．
2．如果mn>0，n<0，下列等式中成立的有｡
①；②；③；④．
A．均不成立 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是
A．和 B．和
C．和 D．和
4．下列等式不成立的是
A．6×=6 B．÷=4
C．= D．×=4
5．若=，则x的取值范围是
A．x<3 B．x≤3
C．0≤x<3 D．x≥0
6．计算÷×结果为
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若成立，则x的取值范围是__________．
8．计算：__________．
9．化简=__________．学科_网
10．下列二次根式：
①；②3；③；④；⑤；⑥．
其中是最简二次根式的是__________．（只填序号）
11．计算：__________．
12．__________．
13．计算：
（1）；
（2）-3·．

14．计算：
（1）；（2）；（3）-÷；（4）3÷．

15．计算（1）；（2）；
（3）；（4）．

16．当x<0时，等于
A．x B．x C．-x D．-x
17．化简的结果是
A． B． C． D．
18．计算的结果是
A． B． C． D．
19．下列运算正确的是
A．
B．
C．
D．
20．若和都是最简二次根式，则__________，__________．
21．一个圆锥的底面积是2 cm2，高是4 cm，那么这个圆锥的体积是__________．
22．计算：+（-2）2-（-）．

23．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．

24．（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
25．（2018·湖南益阳）__________．
26．（2018·江苏镇江）计算：=__________．

1．【答案】D
【解析】A、=|a|，可化简；B、，可化简；C、，可化简；因此只有D： ，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D．
2．【答案】C
【解析】根据题意，可知mn>0，n<0，所以可得m<0，根据二次根式的乘法的性质，可知m≥0，n≥0，故①不正确；根据二次根式的乘法，可得==1，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m≥0，n>0，故③不正确；根据二次根式的除法，可得==-m，故④正确．故选C．
3．【答案】D
【解析】选项A，=，与的被开方数不相同；选项B，=，与的被开方数不相同；选项C，不能够化简，被开方数不相同；选项D，=，=，和化简后被开方数完全相同，故选D．
4．【答案】B
【解析】选项A、C、D正确；选项B，÷=，选项B错误，故选B．
5．【答案】C
【解析】根据题意得：，解得：．故选C．
6．【答案】B
【解析】原式=，故选B．

9．【答案】
【解析】．故答案为：．
10．【答案】①⑥
【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为：①⑥．
11．【答案】-5
【解析】原式．故答案为：．
12．【答案】+2
【解析】原式
．故答案为：．
13．【解析】（1）

．
（2）

．
14．【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
15．【解析】（1）原式

．
（2）

．
（3）原式

．
（4）原式．
16．【答案】C
【解析】∵x<0，∴=|x|=-x，故选C．
17．【答案】A
【解析】原式=，故选A．
18．【答案】B
【解析】原式．故选B．
19．【答案】A
【解析】根据二次根式的乘法，可知，故正确；
根据二次根式的性质，=，故不正确；
根据二次根式的除法和分母有理化，可知=，故不正确；
根据二次根式的性质，被开方数不能为负数，可知，故不正确．
故选A．
20．【答案】1、2
【解析】由题意，知，解得，因此m的值为1，n的值为2．故答案为：1，2．
21．【答案】
【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是．故答案为．

24．【答案】B
【解析】A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误，故选B．
25．【答案】6
【解析】原式=2×=6．故答案为：6．
26．【答案】2
【解析】==2，故答案为：2．

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