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人教版数学必修五精品资料人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析第一章 课文目录11正弦定理和余弦定理 12应用举例 13实习作业 【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。【要点内容】一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2R（R为ABC外接圆半径）1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = =正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:2、余弦定理余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍即： 若用三边表示角，余弦定理可以写为余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边注意：在（0，）范围内余弦值和角的一一对应性若cosA0则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA0，则A为钝角3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在ABC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90，则cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广这与RtABC中，C=90的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例4、三角形的有关定理：内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA5、求解三角形应用题的一般步骤：（1）、分析题意，弄清已知和所求；（2）、根据提意，画出示意图；（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；（4）、正确运用正、余弦定理。【典型例题】例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.例5在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A,C及边c解：由正弦定理得：sinA=,因为B=4590且ba,所以有两解A=60或A=120(1)当A=60时,C=180-(A+B)=75， c=,(2)当A=120时,C=180-(A+B)=15 ，c=思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论例6ABC中，若，判断ABC的形状。解一：由正弦定理：2A = 2B 或 2A = 180 - 2B 即：A= B 或 A + B = 90ABC为等腰或直角三角形解二： 由题设：化简：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 ABC为等腰或直角三角形思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手例7在ABC中，已知，成等差数列，b=1, 求证：1a+c2.解：由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sinA+sin(120A)=2sin(A+30)，因为0A120，所以30A+30150,故12sin(A+30)2.法二B=60,b=1，a2+c2-b2=2accos60, a2+c2-1=ac, a2+c2-ac=1,(a+c) 2+3(a-c) 2=4, (a+c) 2=4-3(a-c) 2.0a-c1 03(a-c)21, 1c2（锐角三角形），a2b2c2（钝角三角形）或sin(AB)0，sinAsinB，sinC1或cosC0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索【范例2】中，内角.的对边分别为.，已知.成等比数列，且（1）求的值；（2）若，求的值解析（1）由得，由得，（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得于是： 故【点晴】 以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解斜三角形中的灵活应用.【文】在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.(1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.解析 【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.【范例3】已知ABC的周长为6，成等比数列，求（1）ABC的面积S的最大值；（2）的取值范围解析 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b=ac 在ABC中得,故有又从而（），即（） 【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的 【变式】在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, ABC的外接圆半径R=，且满足.(1) 求角B和边b的大小；(2) 求ABC的面积的最大值。解析 (1) 由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBsin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B= b=2RsinB b=3(2)= 当A=时, 的最大值是【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用【范例4】某观测站C在城A的南20西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达A城？解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，CAB=60设ACD = ，CDB = 在CDB中，由余弦定理得：，在ACD中得所以还得走15千米到达A城【点晴】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之【变式】已知半圆O的直径AB=2，P为AB延长线上一点，OP=2，Q为半圆上任意一点，以PQ为一边作等边三角形PQR（P、Q、R为顺时针排列），问点Q在什么位置时，四边形OPRQ面积最大，并求这个最大面积.解析 设面积，而POQ面积S2=，四边形OPRQ面积.【点睛】三角函数在实际问题中的应用问题.自我提升1在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinAsinB( B )（A）.有最大值和最小值 （B）.有最大值但无最小值（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值2已知非零向量与满足且则为（ D ）（A）等边三角形（B）直角三角形（C）等腰非等边三角形（D）三边均不相等的三角形3ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则C的大小是 （ A ）（A） （B） （C）或 （D）或4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )(A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin 5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . （0，2）6已知定义在R上的偶函数在区间上单调递增,若的内角A满足,则A的取值范围是 _7数列a n中，首项a12，前n项和为Sn，且.（1）判断数列a n是否为等比数列，并证明你的结论？（2）若对每个正整数n，以a n，a n+1，a n+2为边长都能构成三角形，求t的取值范围。解析 (1)略（2）【文】在中，.的对边分别为.。（1） 若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+cosB的值域。（2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C=，求cosB的值。解析 (1) , 当且仅当时取等号, f(B)=sinB+cosB= 的值域为(2) sinA+sinC=2sinB C= sin()+sin()=2sinB展开,化简,得 , , cosB=8在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值.解析 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设BAP=，DPA=，BDP=2，再设AB=a，AD=x，DP=x.在ABC中，APB=180ABPBAP=120，由正弦定理知：.BP=在PBD中，, 060，6060+2180，当60+2=90，即=15时，sin(60+2)=1，此时x取得最小值a，即AD最小，ADDB=23.【文】在中，分别为角的对边，且满足（）求角大小；（）若，当取最小值时，判断的形状解析（）， ， （）由余弦定理，得， 所以的最小值为，当且仅当时取等号此时为正三角形解三角形 检测题班级 姓名 学号 成绩 一、选择题:1在ABC中，下列式子不正确的是 A B C D2在ABC中，则的值为 A B C D23在ABC中，若，则ABC是 A等边三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形4 ，则三角形的形状为 A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形5在ABC中，则B等于 A B或 C D或 6在ABC中，已知，则此三角形的最大内角是 A1200 B1500 C600 D9007在ABC中，“A=B”是“”的 A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件8锐角ABC中，B=2A，则的取值范围是 A B C D二、填空题：9在ABC中，若，则AC= ；10在ABC中，则BAC= ；11一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东300，处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750，且与它相距海里，此船的航速是 ；12在锐角三角形ABC中，已知，则BAC= ， .三、 解答题：13已知三角形ABC的外接圆半径为1，且角A、B、C成等差数列，若角A，B，C所对的边长分别为，求的取值范围.14在ABC中，求的值和三角形的面积.15ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。16在ABC中，角A，B，C的对边分别是，且. 求的值； 若，求.参考答案一、选择题：1 C2 C3 B4 A5 A6 B7 B8 D二、填空题：9. 3 10. 30 11.32海里/小时 12.60 2三、解答题：13 14. 三角形的面积为15解：A、B、C为ABC的三内角 令A是ABC的内角 x可以取到，由抛物线的图像及性质可知当时，为其最大值。 此时16.（1）A，B，C是ABC的内角 （2）A 是ABC的内角 又 是ABC的一边 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢28