最短路径问题.pptx

如图：一个圆柱的底面周长如图：一个圆柱的底面周长为为20 cm，高，高AB为为4 cm，BC是是底面直径，一蚂蚁从点底面直径，一蚂蚁从点A出发，出发，沿着圆柱的侧面爬行到沿着圆柱的侧面爬行到C，试求，试求出爬行的最短路径出爬行的最短路径.创设情境创设情境蚂蚁会怎蚂蚁会怎么爬行？么爬行？(1)图图中从中从A到到B哪条路最短？哪条路最短？(2)图图中点中点C与直线与直线AB上所连线中哪条线最短？上所连线中哪条线最短？自主探究自主探究探究一：最短路径问题的概念探究一：最短路径问题的概念 1.两点之间，线段最短；两点之间，线段最短；2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短垂线段最短.自主探究自主探究探究一：最短路径问题的概念探究一：最短路径问题的概念 问题问题1 如图，牧马人从如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河地出发，到一条笔直的河边边 l 饮马，然后到饮马，然后到B地，牧马人去河边的什么地方饮马，地，牧马人去河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？可使所走的路径最短？探究二：河边饮马问题探究二：河边饮马问题自主探究自主探究 思考？思考？如果点如果点A和点和点B分别位于直线的两侧，如何分别位于直线的两侧，如何在直线在直线l上找到一点，使得这个点到点上找到一点，使得这个点到点A和点和点B的距离的和的距离的和最短？最短？CCBCB点点C即为所求即为所求 思考？思考？如果点如果点A和点和点B分别位于直线的同侧，如何分别位于直线的同侧，如何在直线在直线l上找到一点，使得这个点到点上找到一点，使得这个点到点A和点和点B的距离的和的距离的和最短？最短？你能证明吗？你能证明吗？问题问题2 如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在河两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥上造一座桥MN，桥造在何处可使从，桥造在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）探究三：造桥选址问题探究三：造桥选址问题自主探究自主探究思考：思考：（1）根据问题）根据问题1的探讨的探讨,你对这道题有什么思路和想法？你对这道题有什么思路和想法？（2）这个问题有什么不同？）这个问题有什么不同？（3）要保证路径）要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？最短，应该怎样选址？就是求当点就是求当点N在直线在直线b的什么位置的什么位置时，时，AM+MN+NB最小最小自主探究自主探究当点当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AM+MN+NB最小？最小？由于河岸宽度是固定的，因此当由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，最小时，AM+MN+NB最小最小.就是求当点就是求当点N在直线在直线b的什么位置的什么位置时，时，AM+NB最小最小自主探究自主探究A如图，将如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点移动到点N，点，点A移移动到点动到点A，则，则AA=MN,AM+NB=AN+NB.当点当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AM+NB最小？最小？就是求当点就是求当点N在直线在直线b的什么位置的什么位置时，时，AN+NB最小最小线段线段AB与直线与直线b的交点的交点N的位置即为所求，即在点的位置即为所求，即在点N处造桥处造桥MN,所所得路径得路径AMNB是最短的是最短的.自主探究自主探究A为了证明点为了证明点N的位置就是所求，的位置就是所求，不妨在直线不妨在直线b上另外任意取一点上另外任意取一点N，过点过点N作作NMa，垂足为，垂足为M，连接连接AM,AN,NB,证明证明AM+MN+NB AM+NM+NB即可即可.你能完成这个证明吗？你能完成这个证明吗？NM自主探究自主探究根据问题根据问题1和问题和问题2，你有什么启示？，你有什么启示？在解决在解决最短路径最短路径问题时，我们通常利用问题时，我们通常利用轴对轴对称、平移称、平移等变换把等变换把已知问题已知问题转化为转化为容易解决的问容易解决的问题题，从而，从而作出最短路径的选择作出最短路径的选择.自主探究自主探究已知长方体的长为已知长方体的长为2 cm、宽为、宽为1 cm、高为、高为5 cm，一只蚂，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从蚁如果沿长方体的表面从A点爬到点爬到B点，那么沿哪条路点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？最近，最短的路程是多少？知识拓展知识拓展将长方体沿棱展开，有三种情况：将长方体沿棱展开，有三种情况：第一种：过第一种：过AC，路程为，路程为 cm第二种：过第二种：过CC，路程为，路程为 cm第三种：过第三种：过BC，路程为，路程为 cm所以过所以过CC的路径最短（如图），最短路程为的路径最短（如图），最短路程为 cm你学会了吗你学会了吗?对自己说，你有什么收获？对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么提示？对同学说，你有什么提示？对老师说，你有什么疑惑？对老师说，你有什么疑惑？无论你觉得自己多么的了不起，无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强；也永远有人比你更强；无论你觉得自己多么的不幸，无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸永远有人比你更加不幸.