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沈阳二中2022——2021学年度上学期期中考试
高三（15届）理科数学试题
命题人： 高三数学组 审校人： 高三数学组
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若复数()＋()i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数＝ ( )
A．±1 B．－1 C．0 D．1
2. 已知集合，，则 ( )
A．{｜0＜＜} B.{｜＜＜1} C.{｜0＜＜1} D.{｜1＜＜2}
3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．“” 是“”的必要不充分条件.
C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.
D．命题“使得”的否定是：“均有”．
4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（ ）
A. 27 B.3 C. 或3 D.1或27
5. 函数的定义域为，则函数的定义域为 ( )
A． B． C． D．
6. 已知,则 ( )
A． B． C． D．
7. 已知x，y满足x≥1，x+y≤4，x+by+c≤0，记目标函数的最小值为1，最大值为7，则的值分别为 （ ）
A. -1，-2 B. -2，-1 C. 1，2 D. 1，-2
8．已知等比数列满足＞0，＝1,2，…，且，则当≥1时，
＝ （ ）
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
9.已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为b，若函数g(x)＝，则不等式g(x)≤1的解集为 ( )
A. B. C. D.
10. 如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为 （ ）
11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有 ( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
12.函数，在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为.有以下命题：
①是奇函数；②若内递减，则的最大值为4；③的最大值为M，最小值为m，则；④若对恒成立，则的最大值为2.其中正确命题的个数为 （ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.
13.. 若函数在上可导，，则 .
14. 若且，则的最小值为 .
15. 若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列.
16. 已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是 .
三、解答题：本大题共六个大题，满分70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
（1）已知，且，求的值；
（2）已知为其次象限角，且，求的值.
18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
且.
(Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)若的最大值．
19．（本题满分12分）
设数列是等差数列，数列的前项和满足且
（Ⅰ）求数列和的通项公式：
（Ⅱ）设，设为的前n项和，求.
20.（本题满分12分）
已知二次函数，若不等式的解集为C.
（1）求集合C；
（2）若方程在C上有解，求实数的取值范围.
21.（本题满分12分）
如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．
（1）写出、、；
（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.
22.（本题满分12分）
已知函数在处的切线与直线垂直，函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．
沈阳二中2022——2021学年度上学期期中考试
高三（15届）理科数学试题答案
一． 选择题：1. B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.C 11.B 12.B
二． 填空题：13.-4 14.
15. 提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数类比到几何平均数.
16.
三、解答题：
17.
18.解：(Ⅰ)由a－2csin A＝0及正弦定理，
得sin A－2sin Csin A＝0(sin A≠0)，（1分）
∴sin C＝，（4分）∵△ABC是锐角三角形，
∴C＝ （6分）
(Ⅱ)∵c＝2，C＝，由余弦定理，a2＋b2－2abcos ＝4，
即a2＋b2－ab＝4 （8分）
∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·2，即(a＋b)2≤16，（10分）
∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”（11分）
故a＋b的最大值是4.（12分）
19.解： (1) , (3分) . （3分）
（2）.（12分）
20. 解: （1） ------------------------------1分
当时， ------------------3分
当时， --------------5分
所以集合 ---------------6分
（2） ，令
则方程为 ---------------7分
当时，， 在上有解，
则 -----------------9分
当时，， 在上有解，
则 ------------------------11分
所以，当或时，方程在C上有解，且有唯一解。-----------12分
21.解：
（1）………………3分
（2）依题意，得，由此及得
，
即．
由（Ⅰ）可猜想：．………6分
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当时，命题明显成立；………7分
（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及
得，即
，
解之得
（不合题意，舍去），
即当时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．………………12分
22. 解：（Ⅰ）∵，∴.-----------------------1分
∵与直线垂直，∴，∴.--------------3分
------7分
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