江苏省宿迁市剑桥国际学校2021届高三上学期12月月考试题-数学-Word版含答案.docx

宿迁市剑桥国际学校2022-2021学年度第一学期12月月考
高三班级数学试卷
（考试时间：150分 试卷满分160分）
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.
1、已知集合，，则= ▲ .
2、若复数()是纯虚数，则= ▲ .
3、垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是 ▲ .
4、在等比数列｛｝中,若,则的值是 ▲ .
5、在用二分法求方程的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，
则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ .
6. 正三棱锥中，，，分别是棱上的点，为边的中点，，则三角形的面积为______▲_______．
7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ▲ .
8. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为
9.由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是 ▲ .
10.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是 ▲ .
11.已知函数，当时，，则实数的取值范围是 ▲ .
12、过定点(1,2)的直线在正半轴上的截距分别为,则4的最小值为 ▲ .
13．如图，A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，
则▪的取值范围为 ▲ ．
14、已知是首项为a,公差为1的等差数列,.若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
15.（本小题满分14分）
在△，已知
（1） 求角值；
（2） 求的最大值.

16.（本小题满分14分）
如图，在四棱柱中，已知平面平面且,.
（1） 求证：
（2） 若为棱的中点，求证：平面.

第16题图

17.（本小题满分14分）
如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.
(1) 求的长度；

第17题图
(2) 在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？

18.（本小题满分16分）
已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设是线段上的点,且.请将表示为的函数.

19、(本小题满分16分)
已知函数，，
(其中)，设.
（Ⅰ）当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值；
（Ⅱ）当时，若存在，使成立，试求的范围.

20、(本小题满分16分)
已知为实数，数列满足，当时，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）证明：对于数列，确定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，当时，求证：(6分)

高三12月月考数学试题参考答案
一、填空题
1. 2.2 3. 4.4 5.（说明:写成闭区间也算对） 6． 7． 8．2 9． 10． 11． 12.32 13. 14.
二、解答题
15．⑴由于，
由正弦定理，得，…………………………………………2分
所以，所以，………………………………4分
由于，所以．…………………………………………………………6分
⑵ 由，得，所以
，……………………………………10分
由于，所以，……………………………………………12分
当，即时，的最大值为． ……………………14分
16．⑴在四边形中，由于，，所以，……………2分
又平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，………………………………………4分
又由于平面，所以．………………………………………7分
⑵在三角形中，由于，且为中点，所以，………9分
又由于在四边形中，，，
所以，，所以，所以，…………12分
由于平面，平面，所以平面．…14分
17．⑴作，垂足为，则，，设，
则…………………2分
，化简得，解之得，或（舍）
答：的长度为．………………………………………………………………6分
⑵设，则，
．………………………8分
设，，令，由于，得，当时，，是减函数；当　　　　　　时，，是增函数，
所以，当时，取得最小值，即取得最小值，………12分
由于恒成立，所以，所以，，
由于在上是增函数，所以当时，取得最小值．
答：当为时，取得最小值． ……………………………14分
18．解:(Ⅰ)将代入得 则 ,(*) 由得 . 所以的取值范围是
(Ⅱ)由于M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为,,则
,,又,
由得,,
所以
由(*)知 ,, 所以 ,
由于点Q在直线l上,所以,代入可得,
由及得 ,即 .
依题意,点Q在圆C内,则,所以 ,
于是, n与m的函数关系为 ()
19. 解：（Ⅰ）∵,
,
∴ ∴……………… (3分)
设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解,
欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得……………………………………… (6分)
综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值。
（Ⅱ）∵存在，使成立等价于的最大值大于0，
∵，∴,
∴得.
当时，得；
当时，得………………………… (12分)
当时，不成立 …………………………………… (13分)
当时，得；
当时，得；
综上得：或…………………………………… (16分)
20. 解:（Ⅰ）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开头,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= (3分)
=. ………………(5分)
（Ⅱ）证明：①若,则题意成立……………………………………………(6分)
②若,此时数列的前若干项满足,即.
设,则当时,.
从而此时命题成立……………………………………………………(8分)
③若,由题意得,则由②的结论知此时命题也成立.
综上所述,原命题成立…………………………………………………(10分)
（Ⅲ）当时，由于,
所以=…………………(11分)
由于>0,所以只要证明当时不等式成马上可.
而
…………………………………(13分)
①当时,

… (15分)
②当时,由于>0,所以<
综上所述,原不等式成立…………………………………………………………(16分)