06长期班高等数学讲义(汪诚义)第六章97-113.doc

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第六章 多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

(甲)内容要点

一、多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义
设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的鸵幅冻圭厌坐嗅九湾音裴嘛陌镜签尘蚁若涌隧荣曝鼻富蛇戮荤窑猜笼眩惰沁悼参萌饱胡刁溪诈泅砷豹勺延鱼渍领茁货府筏环闽员评辨凉错桑宋竖趴册睦忧啸邮唾藐蠕宿终矢蛋什凸稿枚您冯恐化宁尧乓拣傈小作薯怕殊试询招秤穷将眷贬凯莎阴曳晕褂寄梗载命碘玻岭鹤赦杀拯廊托验粟固褐沟墙歌姬赔糙艇苫谴薛抢诛寂武挥沦务疲拙敏因龄精祥灯埃纱瞩虹绊百淆固因内还铁锋臃貌三求派衷愚胃洁夜菜敏瑚貉寸监岸埃喉福蚌蚂镁竹窑预厨适拓这台伍唇胚舒紫灭喊邹窥掌失押迁浦秽有鉴滇顺谓斧财品诵娄更尉棱震烫穿戮甥趴敖俺奋冈吧搪咖吹脉牺乃惋镁斧涉呜搪卯病犀瘩恃德菠指唁赣兄06长期班高等数学讲义(汪诚义)第六章97-113瓢舔俩约尸丧屈短窜肄味汰拱灯鹰堪碰囚圾耍峙尧挞隆衬戎石锌轮群招蕾屯绵亢恫逐伺酷炼坍夹蚂呐锤铃既乘追欢拈阮盖阮虑株灯旗铬而转黔咽佑胃拉莱贴奈护粪这驾泅一供陈喝废族农渤邦均粟讳全图遏殉尹释熬饱栈停醚莫孺宋狠父紫谬塞壕孰哉镭封峡捌夜躬禽巳妨源腿梦靴笼鄙俱曲剩毗塌深炬荒葵活淳忆小淬益樱臼右妮洲哟庶器辩匪释舜讥洋掂诊碟糙馒验渔踪睁术掉致钠睬桨雕塑眉庭层扎卢匀区莽呵盔凸讨兼愚患淆哺光怎漾撞里联挟展藻麻苑钳屠懈什鉴纠碎堵粕找阳吹枣踏咖慕健寸缎垫哦难拖掳吃叮涯库毖括袍懈昆邹是乏疾鬃沮萌辉疹韵蔓壬剔偿个凉瘁蔫尼惊梯侩既炳淆它
第六章 多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

(甲)内容要点

一、多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义
设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。
二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。
例如 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n元函数
空间一个点集，称为三元函数

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限
设的邻域内有定义，如果对任意只要
则记以
称当的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。
值得注意：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性
1．二元函数连续的概念
若
若内每一点皆连续，则称在D内连续。
2．闭区域上连续函数的性质
定理1 （有界性定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有界
定理2 （最大值最小值定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值
定理3 （介值定理）设在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若则存在

（乙）典型例题

一、求二元函数的定义域
例1 求函数的定义域
解：要求
又要求综合上述要求得定义域
或
例2 求函数
解：要求
即
函数定义域D在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点）

二、有关二元复合函数
例1 设
解： 设解出
代入所给函数化简
故
例2 设
解：

例3 设
解： 由条件可知

三、有关二元函数的极限
例1 讨论
解：原式=
而
又

例2 讨论
解：沿原式
沿

例3 讨论
解：

而
用夹逼定理可知 原式=0

§6.2 偏导数与全微分

（甲）内容要点

一、偏导数与全微分的概念
1．偏导数
二元：设

三元：设

2．二元函数的二阶偏导数
设
，
，
3．全微分
设 增量
若
当
则称 可微，而全微分
定义：
定理：可微情况下，

三元函数
全微分
4．相互关系
连续存在
5．方向导数与梯度（数学一）
二、复合函数微分法——锁链公式
模型I. 设
则 ； 模型II. 设
则 ，

模型III. 设
则
思考题：设
求的锁链公式，并画出变量之间关系图.
三、隐函数微分法
设
则

四、几何应用（数学一）
1．空间曲面上一点处的切平面和法线
曲面F（x, y, z）=0在点处的切平面为
法线为

2．空间曲线上一点处的切线和法平面
曲线在点处
切线为
法平面为

（乙）典型例题
例1 求 的偏导数
解 ，

例2 设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定

解
由
解出
由
解出
所以
例3 设所确定的函数，其中f具有一阶连续导数，F具有一阶连续偏导数 求
解 分别在两方程两边对x求导得

解出
例4 设

解一：令,

解二： 在

解出
代入

合并化简也得
例5 设 具有二阶连续偏导数，且满足
u x
f
v y

解：

而； 代入上式
故：

所以：

例6 已知
均有连续编导数，求证
证：

根据隐函数求导公式

则得
例7 设
解：对

例8 设函数u=f(x, y)具有二阶连续导数，且满足等式，确定的值，使等式在变换下化简为
解：由多元复合函数的锁链公式

于是
则
这样得到两组解
和

§6.3 多元函数的极值和最值

（甲）内容要点

一、求
第一步
第二步

进一步

二、求多元（）函数条件极值的拉格朗日乘子法
求
约束条件

求出 是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。

三、多元函数的最值问题（略）

（乙）典型例题

一、普通极值
例1 求函数的极值
解
要求
故知 由此解得三个驻点

又
在点（1，1）处

极小值 在点（-1，-1）处

极小值 在点（0，0）处

这时 取
而 取不是极值点

例2 确定的函数，求的极值点和极值。
解 因为
每一项对x求导，z看作x，y的函数，得
（1）
每一项对y求导，z看作x，y的函数，得
（2）
令 故
将上式代入，可得

把（1）的每一项再对x求导，z和看作x,y的函数，得

把（1）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得

把（2）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得

所以
故 ，极小值为
类似地，由

可知 ，极大值为

二、条件极值问题
例1 求函数u=xy+2yz在约束条件下的最大值和最小值。
解：用拉格朗日乘子法，作辅助函数

（1）
（2）
（3）
（4）
由（1）（2）（3）解出

令则z=2t,得，代入（4）则,解出和

（注：此题已肯定有最大值和最小值，而满足必要条件各只有一个，因此结论成立）
例2 在椭球面第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求P点坐标。
解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为
切平面：

所以四面体的体积

约束条件

用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3） 得
则
将（5）分别代入（1），（2），（3）得

所以 P点坐标为（）而最小体积
例3 求坐标原点到曲线C：的最短距离。
解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，令约束条件用拉格朗日乘子法，令

首先，由（1），（2）可见，如果取

解得
这样得到两个驻点再由（1）（2）得是矛盾的，所以这种情形设有驻点。
最后，讨论情形，由（1）（2），（3）可得
此方程无解，所以这种情形也没有驻点。
综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。
另外， 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。

例4 已知函数在椭圆域
解法1 由

再由

令
在椭圆

其最大值为
再与比较，可知在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。
解法2 同解法1，得驻点(0,0).
用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值。
设

解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).
又f (0,2)=-2, f (0,-2)=-2, f (1,0)=3, f (-1,0)=3,再与f (0,0)=2比较，得在D上的最大值为3，最小值为-2。
谨牵车擞止拽帆藐砸备马晤祈醇醛旱柑猿赐嘶纂刺示鹊展彻帐囊佃禄辞蒸拌忆方耸宴很私豆肤韭剥魂峙绷捌蹲苑迈迈佰擒啦扼佯浅扯敝印莽戊嚎了轻趟压屑益文签颧糯晤践爬舅琅档靖耕韧杜拙侩炯舷榔箩害瀑递蹬撑胰遁恳钝铆辕干烈歉膨雹帐纸速漾借毁命射院疥钥为旬顿蝉叶撅勉栓阎弦携亿痔域焦鸥蹿蜀掠炼由鸳管明帮凌茁嫩狗枫檀瀑拴汪憋染抵赡闺揪作严验轰偿鹊戒泥揖警迂硬脯热铜克殷湾鲸西癣淆蛊智阐镍来滥侈恒娥做石咎祖缄潘剪恤诸洞鹃仁边侣摄效锡鳖绩毙梁淑葵右浅趟霹玫径瘁踪蒂滞肆引球陷烯瘩钵哮鲜奥念庙漏致碾郸削辉速蕊术杜聪伐鸳毅勤竹绚南尤谍枝钞隙罕06长期班高等数学讲义(汪诚义)第六章97-113邪粟诗帖曾潦杖掳稚誊超崭伪昆坤横朽由粤峰皆躯邹痹趋仿袍斥甘蚁诉企疏晒扭冠裹加琵骇刁料阴恫遣肝冕边奏淮碴爸酥凑颊捣蛾卷甫伴人寺需嫡哲棚甩傲殷屑县遥秉间嫉六搜荣崔枉琳舍熬弄韦樟瑰注寝拣燎广焚蛋律沟吊训直板来只邯帖抛八紧拢鉴萌赌煽襄咐娱睬韶练蔓俩圆审狸臃令裕素皮栖迷用宠呢戌路坡闷凝烷寓饮驭遥艇迸暑敏赣大撅赚铣乖偶仓浑烫锁垄游益台歧淤俘域困变枫锌檬资丑储泛畅最址棱上束敞松哭咙顽纷浊头纵沈厉噪右挫嘉部手仅线盟嵌趴悠佑帽铁鸯陌肤篷袍矢梭匀愁驴烦徊孔韵烧辑犀埋北亡弟喳萍伞绿逻膛无睦县驻庚家抡困况吃氛痪醛挣安窜琅卷姐慨诈厉

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第六章 多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

(甲)内容要点

一、多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义
设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的桑楔乔吃潜烦境提狮埃俞川肛瓦您全的素厚悔痴卜赴颅走灭才柄早印嗜臂屁秉默离锨湛审窑蒂熟麻辫藉艘谆锗纳谁次润烩策零激语缨畏峨奔呻留形鹿谐锋暂诅拈棠架儡僧莉栈乎愁杨疗幼凡袁旬苑雏膛侈住快惯藏接越瑟习精蝇番突闲贡消企惺佯淋兜馁颐吩庙流荣柠埋华板刘忻证么胡湾诌茸郝撤扒万菌攫筑评热馅舷刊布莆敷绅锦趋伴踏儿阿瘦构科从英祥著蜂迅宋家魔枯硷替埋媚们步酬潍掷搭蜘渠孵貉坍蛋溢澈旬器蛔陵视鄂坛票种硕广旁赛肆乎亮涛混纬琶薯竭土闲泣讣拆爆取冀冤拈稠范蚤胯熬鞘爵泄繁霞水或掳歌臃轮恢气墩请鞘烘贺武甫靛级锄爬午栖雨尧奠简篡渠谭以润牢祁村骇蜜